递推数列的研究

递推数列的研究先看一个问题：有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?常规的思路是穷举法，但穷举法过于繁杂，不易得到正确的结果。其实，本题有另一种巧妙的解法：最后走到第十阶，可能是从第八阶直接上去，也可以从第九阶上去，设上n级楼梯的走法是an，则an的值与等于an-1与an-2的值的和，得到关于走法的关系式an=an-1+an-2，这样可以计算出任意台阶数的题目．an=an-1+an-2,这就是著名的费波拉契数列。这是数学史上最有名的一个递推数列。关于它，有许多奇妙的性质。如：每3个数有且只有一个被2整除，每4个数有且只有一个被3整除，每5个数有且只有一个被5整除，每6个数有且只有一个被8整除，每7个数有且只有一个被13整除，每8个数有且只有一个被21整除，每9个数有且只有一个被34整除，.......我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）。斐波那契数○1还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。那么，斐波那契数列的通项公式是什么呢？可以通过以下推导而来：推导方法一：利用特征方程○2线性递推数列的特征方程为：12xx解得251,25121xx.则nnxcxcnF2211.11212222112211xcxcxcxcFF解得51,5121xcnnnF25125151推导方法二：待定系数法设常数ts,，使得211nFsnFtnFsnF.则1,1sttsn≥3时，有122343323221211FsFtFsFnFsnFtnFsnFnFsnFtnFsnFnFsnFtnFsnF将以上n-2个式子相乘，得：1212FsFtnFsnFn121,1FFst上式可化简为：11nFstnFnststtststststssttFststssttnFstssttnFssttnFstnFnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn11132111232211232213322122111,1stts的一解为251,251tsnnnF25125151其实，第一种方法可以用来解大多数常系数线性递推数列○3的通项公式，其思想，是化归为一个新的，可以求通项公式的数列，再代入。递推数列博大精深，其应用更是广泛。甚至可以应用在社会文明中。如艾略特波浪理论○4就是以费波拉契数列为基础的。费波拉契数列只是递推数列的冰山一角，除了费波拉契数列，我国的大衍数列也是很有名的。来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论。如图：主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理。数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和。是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题。通项公式为an=½·（n2-1）此时n为奇数an=½·n2此时n为偶数除此之外，递推数列在生产，生活中有着极为广泛的应用。递推数列的应用远比你想象的要广泛。○1费波拉契数：费波拉契数列中的数○2特征方程：特征方程是把递推式中的这些数列变量项an+1，an-1全都换成X，得到的一元方程，特征方程的解就是判断数列通项形式的依据。○3常系数线性递推数列：形如an+k=c1an+k-1+c2an+k-2+...+ckan+f(n)。数列｛an｝称为k阶常系数线性递推数列○4艾略特波浪理论：美国证券分析家拉尔夫•.纳尔逊•.艾略特（R.N.Elliott）利用道琼斯工业指数平均（DowJonesIndustrialAverage，DJIA）作为研究工具，发现不断变化的股价结构性形态反映了自然和谐之美。甚至有人用它计算未来，误差只在0~50年间！参考资料：百度百科费波拉契数列百度百科大衍数列《奥数教程》高一年级华东师范大学出版社撰著者：王建东