递推数列竞赛题

-1-构建新数列巧解递推数列竞赛题递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题，基本思路是根据题设提供的信息，构建新的数列，建立新数列与原数列对应项之间的关系，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。其中，怎样构造新数列是答题关键。1求通项求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想。例1、数列na中，11a，nnnaaa241411611。求na。（1981年第22届IMO预选题）分析本题的难点是已知递推关系式中的na241较难处理，可构建新数列nb，令nnab241，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。解：构建新数列nb，使0241nnab则51b，nnab2412，即2412nnbannnbbb24141161241221化简得22132nnbb321nnbb，即32131nnbb数列3nb是以2为首项，21为公比的等比数列。-2-nnnb2122123即322nnb121122231232241nnnnnba2证明不等式这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。例2、设10a，12111nnnaaaNn，求证：22nna。（1990年匈牙利数学奥林匹克试题）分析利用待证的不等式中含有及递推关系式中含有211na这两个信息，考虑进行三角代换，构建新数列n，使nntga，化简递推关系式。证明：易知0na，构建新数列n，使nntga，2,0n则2sincos111111112nnnnnntgtgtga21nntgtg，21nn又10a，8121tga，从而81因此，新数列n是以8为首项，21为公比的等比数列。212821nnn-3-考虑到当)2,0(x时，有xtgx。所以，2222nnntga注：对型如21na，na1，111nnnnaaaa都可采用三角代换。3证明是整数这类题把递推数列与数论知识结合在一起，我们可以根据题目中的信息，构建新数列，找到新的递推关系式直接解决，或者再进行转化，结合数论知识解决。例3、设数列na满足11a，nnnaaa1211)(Nn求证：Nan2221,nNn。（《中学数学教学参考》2001年第8期第53页，高中数学竞赛模拟试题）分析直接令222nnab，转化为证明Nbn)1,(nNn证明：构建新数列nb，令0222nnab则2422nnba，242121nnba代入221121nnnaaa整理得222124nnnbbb从而2121224nnnbbb)3(n于是2212121221122424nnnnnnbbbbbb)3(n-4-12211nnnbbb)3(n由已知，42b，243b，由上式可知，Nb4，Nb5，依次类推，Nbn)1(n，即Nan222。例4、设r为正整数，定义数列na如下：11a，2)1(221nnnaarnn)(Nn求证：Nan。（1992年中国台北数学奥林匹克试题）分析把条件变形为rnnnnaan21122比较1na与na前的系数及1na与na的足码，考虑到另一项为rn212，等式两边同乘以1n，容易想到构新数列nb，使nnannb1。证明：由已知得rnnnnaan2112212112121rnnnannann构建新数列nb，nnannb1则21b，12112rnnnbb1111nkkknbbbb1212123212rrrnNbn11121212)(2nkrrrnknknb-5-112212212212211212122nkrrrrrrrrrknCknCknCnnnbn又nkrrnknkrrnknkknkb112121112121)1(nkrrrrrrrrknCknCknCn1221221221221121211111n|nb1nn|nb，从而Nan。4解决整除问题一般通过构建新数列求出通项，再结合数论知识解决，也可用数学归纳法直接证明。例5、设数列na满足11a，32a，对一切Nn，有nnnanana2312，求所有被11整除的na的一切n值。（1990年巴尔干地区数学奥林匹克试题）分析变形递推关系式为nnnnaanaa1122，就容易想到怎样构建新数列了。解：由已知nnnnaanaa1122构建新数列,2nbnnnnaab111n则22b，nnnnbnaanb11112n!311221nbnnbnnnbbnnn2nnknkknknnnkbaaaa12211!1-6-从而3114a，4203118a，3670831110a，当11n时，由于101!kk被11整除，因而nkknkka11101!!也被11整除。所以，所求n值为4n，8，及10n的一切自然数。5证明是完全平方数这类题初看似乎难以入手，但如能通过构建新数列求出通项na，问题也就迎刃而解了。例6、设数列na和nb满足10a，00b，且47836711nnnnnnbabbaa,2,1,0n求证：na是完全平方数。（2000年全国高中联赛加试题）分析先用代入法消去nb和1nb，得061412nnnaaa，如果等式中没有常数项6，就可以利用特征根方法求通项，因此可令aaCnn，易求得21a。证明：由①式得nb，1nb代入②得061412nnnaaa化为02121142112nnnaaa构建新数列nc，21nnac，且210c，2721367210011baac①②-7-01412nnnccc由特征方程01142得两根3471，3472所以nnnmmc2211当0n，1时，有21347347212121mmmm解得：4121mm则nnnc3474134741nn2232413241则232324121nnnnca因为nn3232为正偶数，所以，na是完全平方数。从上述各题构建新数列的过程中，可以看出对题设中递推式的观察、分析，并据其结构特点进行合理变形，是成功构建新数列的关键。构建新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉，这也是解答数学问题的共性之所在。