二次函数与一元二次方程的关系一、探究探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。解:∵A、B在轴上,∴它们的纵坐标为0,∴令y=0,则x2-3x+2=0解得:x1=1,x2=2;∴A(1,0),B(2,0)你发现方程的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系?x2-3x+2=0结论1:方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此,抛物线与一元二次方程是有密切联系的。即:若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2,则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A(),B()x1,0x2,0xOABx1x2y探究2、抛物线与X轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢?b2-4ac0b2-4ac=0b2-4ac<0OXY结论2:抛物线y=ax2+bx+c抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明:1、b2-4ac>0一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根与x轴有两个交点——相交。抛物线y=ax2+bx+c2、b2-4ac=0一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根与x轴有唯一公共点——相切(顶点)。抛物线y=ax2+bx+c3、b2-4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根与x轴没有公共点——相离。二、基础训练1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上,则a=;若抛物线与x轴有两个交点,则a的范围是;若抛物线与坐标轴有两个公共点,则a的范围是;3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为(-2,0),(3,0),则p=,q=。2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点,则a的范围是。4、判断下列各抛物线是否与x轴相交,如果相交,求出交点的坐标。(1)y=6x2-2x+1(2)y=-15x2+14x+8(3)y=x2-4x+46、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象全部在轴下方的条件是()(A)a<0b2-4ac≤0(B)a<0b2-4ac>0(C)a>0b2-4ac>0(D)a<0b2-4ac<0D三、例题推荐1、已知二次函数y=x2-kx-2+k.(1)求证:不论k取何值时,这个二次函数y=x2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。(2)如果二次函数y=x2-kx-2+k与轴两个交点为A、B,设此抛物线与y轴的交点为C,当k为6时,求S△ABC.2、已知抛物线y=x2+2x+m+1。(1)若抛物线与x轴只有一个交点,求m的值。(2)若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点,求m的值。3、已知是x1、x2方程x2-(k-3)x+k+4=0的两个实根,A、B为抛物线y=x2-(k-3)x+k+4与x轴的两个交点,P是y轴上异于原点的点,设∠PAB=α,∠PBA=β,问α、β能否相等?并说明理由.AOBPXYαβ4、已知抛物线y=x2-(m2+8)x+2(m2+6).求证:不任m为何实数,抛物线与x轴都有两个不同的交点,四、小结1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A(x1,0),B(x2,0)2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次”之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。