讲稿3功和能

第4章功和能51第四章功和能内容：§4－1动能定理（4课时）§4－2保守力与非保守力势能（3课时）§4－3功能原理机械能守恒定律（3课时）要求：1.使学生掌握功和功率的概念,会计算恒力的功,了解计算变力做功的基本方法。2.深入理解动能的概念,熟练掌握质点和质点组动能定理及其应用。3.能区分保守力与非保守力，掌握势能的概念。本章仅讲授重力势能和弹性势能。4.使学生时刻理解功能关系，强调功是能量交换或变化的量度。5.熟练掌握功能原理和机械能守恒定律，并能应用它解决动力学问题。重点与难点：机械能守恒定律的应用；计算变力做功的基本方法。作业：P1561，2P1574，5，6P1587，8，9P15910，11第4章功和能52第四章功和能§4--1动能定理在很多实际情况中，一个质点受的力随它的位置而改变，而且力和位置的关系事先可以知道。分析这种情况下质点的运动时，常常考虑在质点的位置发生一定变化的过程中，力对它的作用总起来会产生什么效果，也就是要研究力的空间积累效果。力的空间积累用力的功来表示。本节将介绍功的概念。力对物体做功的效果表现为物体动能的增量，下面将接着介绍与此相关的动能定理。力学（Mechanics）与机械学（mechanism）是同源词；在历史上，推动力学产生与发展的，除了天文学外，主要是对机械装置原理的研究。人们制造机械，是为了让它们做功（Work）。一个物体具有做功的本领，叫做具有一定的能量（Energy）。动能是运动的物体具有的能量，而势能是物体的一种潜在的能量。一、功（Work）功是表示力的空间累积的物理量。功的概念是人们在长期的生产实践和科学研究中建立起来的。1．恒力的功定义：一物体在恒力F的作用下，沿直线运动，位移为S，并且与力F成角，则定义力F对物体所作的功W为coscosFSSFW＝即力对物体所作的功等于该力沿运动方向的分量与物体位移的乘积（标积，ScalarProduct）。写成矢量式为SFW＝说明：1）功是标量，没有方向，只有大小，但有正负θπ/2，功W为正值，即力对物体作正功；θ=π/2，功W=0，此时力与物体的位移垂直，力对物体不作功；θπ/2，功W为负值，即力对物体作负功，或物体克服该力作功。2）单位：焦耳(J)1J=1N.m3）功的另一定义：力对物体所作的功等于质点的位移在力的方向上的分量与力的大小的乘积。2．变力的功把物体运动的轨迹分成许多微小的位移元，在每一个位移元内，力可视为不变，则在在每一个位移元内，力所作的功为sFSFWdcosdd总功为sFSFWWdcosdd＝3．合力的功iiiWSFSFSFW)d(d)(d＝＝例：F正功FSN不作功f负功-fSmg不作功总功W=(F-f)S结论：合力的功等于各个分力所作的功的代数和。4．功的计算1）积分方法：从定义式出发第4章功和能53SFWWdd＝在直角坐标系中，若kFjFiFFzyxkzjyixSdddd则zFyFxFWzyxddd＝需要弄清楚要求哪一个力作的功，并要能写出该力随位置变化的关系式，然后积分即可。在自然坐标系中，nFFFn，sSdd则SFSFWdd＝即力对质点所作的功等于力的切线分量对路径的线积分。由于法向力与路径垂直，因而它始终不作功。计算功的方法：分析质点受力情况，确定力随位置变化的关系；写出元功的表达式，选定积分变量；定积分限，进行积分，求出总功。2）功的图示法纵坐标表示作用在物体上的力在位移方向上的分量横坐标表示质点沿曲线运动的路程。曲线下的面积等于力所作的功。例1．设作用在质量为2kg的物体上的力F=6t(SI)。如果物体由静止出发沿直线运动，问在头2s时间内，这个力对物体所作的功。解：按功的定义式计算功，必须首先求出力和位移的关系式。根据牛顿第二定律F=ma可知物体的加速度为a=dv/dt=F/m=6t/2=3t所以dv=3tdt积分得2005.1d3dtttvtv故位移与时间的关系为dx=1.5t2dt因而力所作的功为JtttttxFW36d9d5.16d2032例2．一个质点沿如图所示的路径运行，求力iyF)24((SI)对该质点所作的功，（1）沿ODC；（2）沿OBC。解：iyF)24(Fx=4-2yFy=0（1）OD段：y=0，dy=0，DC段：x=2，Fy=0JxrFrFWDCODODC80d)024(dd20（2）OB段：Fy=0，BC段：x=200d)224(dd20xrFrFWBCBOOBC结论：力作功与路径有关，即力沿不同的路径所作的功是不同的。二、功率（Power）1．定义：单位时间内完成的功，叫做功率。OBCD22第4章功和能54平均功率：tWP＝瞬时功率：tWPdd＝2．物理意义：表示作功的快慢3．功率的公式：vFtSFtWWdddd＝即功率等于力与速度的点积。应用：1）发动机的功率一定，要加大牵引力，降低速度；要获得较大的速度，牵引力就得减小。2）变速自行车的齿轮变速装置，改变额定功率；3）游泳中的蛙蹼，增大额定功率（RatedPower）。4．单位：瓦特(W)1W=1J·s-2，1kW=103W5．几个功率的数量级：睡觉70－80W(基础代谢)闲谈70－80W走路170－380W听课70－140W跑步700－1000W足球630－840W三、质点的动能定理（TheoremofKineticEnergy）1．引入：功是力对空间的累积作用，力对物体作了功，则物体的运动状态要发生变化。功与运动状态变化之间的关系就是质点的动能定理。2．动能的定义：动能的概念也是人们在长期的生产实践和科学研究中总结出来的。运动的物体可以作功。例如：铁锤钉钉子，风力推动帆船，流水推动水轮机。即：运动着的物体具有能量。定义：物体由于运动而具有的能量叫做动能，其定义为物体的质量与其运动速度的平方的乘积的一半，即221mvEk单位：焦耳1J=1kg.m2.s-23．质点的动能定理问题：一质量为m的物体在合外力F的作用下，由A点运动到B点，其速度的大小由v1变成v2。求合外力对物体所作的功与物体动能之间的关系。把路径分成许多位移元dr，则合外力在位移元dr内所作的功为rFWdd由牛顿第二定律可知合外力为rvvmtrrvmtvmamFdddddddd＝所以vvmrFdd积分21ddvvvvmrF得21222121mvmvW第4章功和能55或12kkEEW＝其中rdFW为合外力所作的功22221mvEk为质点的末动能21121mvEk为质点的初动能即：质点的动能定理：合外力对质点所作的功等于质点动能的增量。4．说明：1）W为合外力对质点所作的功合外力作正功W0，Ek2Ek1，质点的动能增加；合外力不作功W=0，Ek2=Ek1，质点的动能不变；合外力作负功W0，Ek2Ek1，质点的动能减小。2)只有合外力对质点作功，质点的动能才发生变化。功是能量变化的量度，是过程量，与过程有关，rdFW动能决定于状态，是状态量，与状态有关221mvEk3）质点的动能定理只适用于惯性系（动能定理是从牛顿运动定律导出的）。4）动能定理的表达式是一个标量方程式，它只涉及质点运动的初态和末态，不考虑过程的细节，因此，在求解某些力学问题时比较方便。5．质点动能定理的应用动能定理是在牛顿第二定律的基础上推动出来的。利用动能定理解题的方便之处在于不必注意质点在运动过程中任一时刻状态变化的细节。在确定了研究对象之后，只要分析受力情况及其在过程始末状态的动能变化，就可以列出方程。这使力学问题的求解大大简化。（1）动能Ek是标量，仅是状态量v的单值函数，它是状态量；（2）功与动能的本质区别：它们的单位和量纲相同，但功是过程量，动能Ek是状态量；功是能量变化的量度；（3）功和能具有普遍意义；（4）动能定理由牛顿第二定律导出，只适用于惯性参考系，并且动能Ek也与参考系有关。（5）由质点的动能定理可知，当合外力做正功时，质点的动能增加；当合外力做负功时，质点的动能减少。亦即质点反抗外力做功是以自身动能的减少为代价，可见动能是质点因运动而具有的做功本领。（6）动能定理的表达式是一个标量方程，它只涉及质点运动的初态和终态，不问运动过程的细节，因此，在求解某些力学问题时比较方便。例2：(p.73)一质量为m的小球系在长为l的细绳下端，绳的上端固定在天花板上。起初把绳子放在与铅直线成θ0角处，然后放手使小球沿圆弧下落。试求绳与铅直线成θ角时，小球的速率。解：（第一步：计算外力所作的功）小球受力如图。由分析可知为变力作功：rdPrdTrdFWrrrrrr000因为00rdTrr和rrrrrrdrPdrPrdP000sincos并且注意到lddr第4章功和能56因此，0coscossinsin00mgldmgldrmgWrr（第二步：用动能定理求小球的速度）由动能定理，得：22020212121coscosmvmvmvmglW故绳与铅直线成θ角时，小球的速率为：0coscos2glv.例3．一质量为10g、速度为200m·s-1的子弹水平地射入铅直的墙壁内0.04m后而停止运动。若墙壁的阻力是一恒量，求墙壁对子弹的作用力。解：可以用牛顿第二定律求解，但比较复杂。用动能定理比较简单。初态动能2021mvEk末态动能0kE作功W=fs由动能定理20210mvEEWkk得Nsmvf32210504.0220001.02负号表示力的方向与运动的方向相反。例4．力F作用在质量为1.0kg的质点上，已知在此力作用下质点的运动方程为x=3t-4t2+t3(SI)，求在0到4s内，力F对质点所作的功。解：由运动方程可得质点的速度为23238343ddddtttttttxvt=0时，120sm303083vt=4s时，12sm1943483v因而质点始末状态的动能分别为J5.4312121220okmvEJ5.180191212122mvEk根据质点的动能定理，可知力对质点所作的功为J1765.45.1800kkEEW＝第4章功和能57§4－2保守力与非保守力势能引言：在机械运动范围内的能量，除了动能之外还有势能。为了正确地认识势能，我们首先从重力、弹性力、摩擦力作功的特点出发，引出保守力和非保守力的概念，然后介绍引力势能、重力势能、弹性势能。由生活经验知道,从高处落下的重物能够作功，如打桩、高山上的瀑布落下带动发电机发电，这都说明位于高处的重物具有作功本领。本节将从几种常见力的作功特点出发，引出保守力和非保守力概念，然后介绍势能概念。一、万有引力、重力、弹性力作功的特点1．引力作功问题：有两个质量为m和M的质点，其中质点M不动，质点m在引力的作用下，从点a沿acb路径运动到点b，取点M为坐标原点，点a和点b到坐标原点的距离分别为ra和rb，求引力所作的功。将质点的运动路径分成许多位移元dr，则引力所作的元功为rrmMGrermMGrermMGrFdWrrdcosddd222－－－从点a沿acb路径运动到点b，引力所作的功为abrrrrGMmrrmMGWba11d2－即abrrGMmW11结论：引力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点所经过的路径无关。2．重力作功问题：质量为m的质点，在重力的作用下，从点a沿acb路径运动到点b，点a和点b到地面的