1一寸光阴一寸金,寸金难买寸光阴。2、少壮不努力,老大徒伤悲。建模思想小学数学教学运用石家庄市草场街小学曹静摘要:数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲,数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等都是数学模型。数学的模型思想是一般化的思想方法,数学模型的主要表现形式是数学符号表达式和图表,因而它与符号化思想有很多相通之处,同样具有普遍的意义。为了把数学模型与数学知识或是符号思想明显地区分开来,本文主要从侠义的角度讨论数学模型,即重点分析建模思想小学数学教学运用。关键词:数学模型的构建、应用建模的策略、途径所谓数学模型,是指针对或参照某种事物的特征或数量间的相依关系,采用形式化的数学语言,概括地或近似地表述出来的一种数学结构。凡一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程以及由公式系列构成的算法系统等等,都可以称之为数学模型。如自然数“1”是“1个人”、“一件玩具”等抽象的结果,是反映这些事物共性的一个数学模型;方程是刻画现实世界数量关系的数学模型等。因此,建立数学模型的过程就是“数学建模”,数学模型思想从某种意义上来说,可以理解为解题模式。一、小学“数学模型”构建《数学课程标准》(实验稿)倡导以“问题情境一建立模型——解释、应用与拓展”作为小学数学课程的基本叙述模式,并在教材中初步体现,这是数学新课程体系直接体现“问题解决”教学模式的反映。(一)建模的策略1.精选问题,创设情境,激发建模的兴趣。数学模型都具有现实的生活背景,这是构建模型的基础和解决实际问题的需要。如构建“平均数”模型时,可以创设这样的情境:4名男生一组,5名女生一组,进行套圈游戏比赛,哪个组的套圈水平高一些?学生提出了一些解决的方法,如比较每组的总分、比较每组中的最好成绩等,但都遭到了否决(初步建模失败)。这时需要寻求一种新的策略,于是构建“平均数”的模型成为学生的需求,同时也揭示了模型存在的背景与适用,的条件。2.充分感知,积累表象,培育建模的基础。教师首先要给学生提供丰富的感性材料,多侧面、多维度、全方位感知某类事物的特征或数量间的相依关系,为数学模型的准确构建提供可能。如“凑+法”模型构建的过程就是一个不断感知、积累的过程。首先学习“9加几”的算法,初步了解“凑十法”;接着采取半扶半放的方式学习“8、7加几”的算法,进一步引导学生感知“凑十法”更广的适用范围;最后学习“6、5、4加几”的算法,运用“凑十法”灵活解决相关的计算问题。在此过程中,学生经历了观察、操作、实践等活动,充分体验了“凑十法”的内涵,为形成“凑十法”的模型奠定了坚实的基础。3.组织跃进,抽象本质,完成模型的构建。具体生动的情境或问题只是为学生数学模型的建构提供了可能,如果忽视从具体到抽象的有效组织,那就无法建模。如“平行与相交”一课,如果只是让学生感知火车铁轨、跑道线、双杠、五线谱等具体的素材,而没有透过现象看本质的过程,当学生提取“平行线”的模型时,呈现出来的一定是形态各异的具体事物,而不是具有一般意义的数学模型。“平行”的数学本质是“同一平面内两条直线间距离保持不变”。因此,教师应将学生关注的目标从具体上升为两条直线间的距离。可以让学生通过如下活动来引导认识过程:提出问题:为什么两条直线永远不相交?动手实验思考:①在两条平行线间作垂线。②量一量这些垂线的长度,你发现了什么?③你知道工人师傅是通过什么办法使两条铁轨始终保持平行的吗?经历这样的过程,学生对平行的理解必定走向半具体、半抽象的模型,从而构建起真正的数学认识,完成从物理模型到直观的数学模型再到抽象的数学模型的建构。4.重视思想,提炼方法,优化建模的过程。不管是数学概念的建立、数学规律的发现、数学问题的解决,核心问题都在于数学思想方法的运用,它是数学模型的灵魂。如“圆柱的体积”一课教学,在建构体积公式这一模型的过程中要突出与之相伴的数学思想方法:一是转化,将未知转化成已知;二是极限思想。重视数学思想方法的提炼与体验,可以催化数学模型的建构,提升建构的理性高度。5.回归生活,变换情境,拓展模型的外延。从具体的问题经历抽象提炼的过程,初步构建起相应的数学模型,还要组织学生将数学模型还原为具体的数学直观或可感的数学现实,使已经构建的数学模型不断得以扩充和提升。如“鸡兔同笼”的问题模型,是通过研究“鸡”、“兔”建立起来的,但建立模型的过程中不可能将所有的同类事物一一列举。因此,教师要带领学生继续扩展考察的范围,分析当情境、数据变化时模型的稳定性。可以出示如下问题让学生分析:“9张桌子共26人,正在进行乒乓球单打、双打比赛,单打、双打的各几张桌子?”“甲、乙两个车间共有126人,如果从甲车间每8人中选一名代表,从乙车间每6人中选一名代表,正好选出17名代表。甲、乙两车间各有多少人?”这样,使模型的外延不断得以丰富和拓展。(二)建模的途径开展数学建模活动,关注的是建模的过程,而不仅仅是结果,更多的是培养思维能力和创造能力。因此,在小学数学教学中,教师要转变观念,革新课堂教学模式,以“建模”的视角来处理教学内容。1.根据教学内容,开展建模活动。教材中的一些内容已经按照建模的思路编排,教师要多从建模的角度解读教材,充分挖掘教材中蕴含的建模思想,精心设计和选择列入教学内容的现实问题情境,将实际问题数学化,建立模型,从而解决问题。2.上好活动课,为学生模仿建模甚至独立建模提供有效指导。可以结合教材内容,整合各知识点,使之融进生活背景,产生好的“建模问题”作为实践活动课的内容。如教材中安排了这样的问题:“找10盒火柴,先在小组里拼一拼,看看把10盒火柴包装成一包有哪些不同的方法。怎样包装最节省包装纸?”3.改编教材习题,加强建模教学。教材中有些问题需要改编,使其成为建模的有效素材。如:“图中正方形面积是8平方厘米,求圆的面积。”可以利用它开展以下的建模活动:设圆的半径是r,探讨出圆的面积与正方形面积之间的关系后,建立起关系模型,进而解决问题。也可以另辟蹊径,先通过“正方形面积是6平方厘米,求圆的面积”这一问题的解决,建立关系模型“圆的面积是正方形面积的π倍”,从而使原问题获得解决。二、小学“数学模型”的应用活用“数学模型”可以在很大程度上帮助学生深刻领会所学知识,顺利构建数学体系,从而大大提高学生解决实际问题的能力,使学生数学素质得以提升。1.用模型解题。要学会把复杂问题纳入已有模式之中,使原有模型成为构建和解决新问题的工具。例如:“A、B两地相距220千米,甲从A、乙从B同时相向而行,甲每小时行40千米,乙每小时行50千米。途中乙修车停了1小时。两车从出发到相遇用了几小时?”可以引导学生进行分析:以前解决的问题中两个物体从始到终都在运动,而上述这个问题发生了变化。我们可把它变成以前学过的模型,如“让乙车再行1小时,两车行的时间就一样多”或“甲先单独行1小时后,剩下的路程两车同时行驶”等,使之成为较为熟悉、较为简单的模式。利用原认知模型解题,必须基于对教材各知识要素的全面把握,进而能够以原认知模型的“不变”应数学问题的“万变”。2.用“旧模型”构建“新模型”。数学的概念、法则、关系等都是数学模型,并且总是建立在其他数学模型的材料、模型的应用及体现在对新知的逐级构建上。如“一个数乘一位数”法则是一个模型,在教学“一个数乘两位数”时可以放手让学生自主探究,在其过程中,旧模型被调用,为构建更高一级的法则模型发挥重要作用。随着知识的不断更新,学生头脑中的认知结构不断得到重组优化,旧模型往往被具有更“上位”的新模型所代替或统一,使得数学模型更具有了概括性的特征。数学从“关于数的科学”、“关于数量关系和空间形式的科学”到“关于模式的科学”,经历了不断发展的过程。因此,小学数学教学要顺应发展的要求,培养学生的建模意识和能力。参考文献:1、《数学建模--方法与范例》,寿纪麟等编,西安交通大学出版社(1993).2、《数学模型》,朱思铭、李尚廉编,中山大学出版社,(1995)3、《数学模型建模分析》,蔡常丰编著,科学出版社,(1995).4、《数学模型基础》,王树禾编著,中国科学技术大学出版社,(1996).5、《数学模型与数学建模》,刘来福、曾文艺编,北京师范大学出版杜(1997).6、《数学模型实用教程》,费培之、程中瑗层主编,四川大学出版社,(1998).7、《数学建模精品案例》,朱道元编著,东南大学出版社,(1999),8、《问题解决的数学模型方法》,刘来福,曾文艺编著、北京师范大学出版社,(1999).9、《数学建模的理论与实践》,吴翔,吴孟达,成礼智编著,国防科技大学出版社,(1999).10、《数学建模案例分析》,白其岭主编,海洋出版社,(2000年,北京).