位移法

第八章位移法一、超静定结构计算方法的发展历史a.1864年就出现了力法；b.上世纪初，由于钢筋混凝土结构的问世，出现了大量高次超静定刚架，用力法解高次超静定问题十分繁琐，于是在力法的基础上建立了位移法；c.30年代出现了由位移法演变而来的渐进法。§8-1概述二、位移法与力法的区别在给定的外部因素作用下，结构的解答是唯一的。解答包括：内力、位移。即内力和位移之间肯定存在一定的关系。即确定的内力只与确定的位移相对应。1.先明确一个概念：2.回顾力法的解题思路具体解题过程：先求多余未知力结构内力结构位移超静定结构拆成基本结构加上某些条件位移条件（力法典型方程）具体解题过程：3.反推位移法的解题思路先求某些结点位移结构内力结构拆成单根杆件的组合体加上某些条件1.杆端位移协调条件2.结点平衡条件4.力法与位移法最基本的区别：基本未知量不同力法：以多余未知力基本未知量位移法：以某些结点位移基本未知量用力法求解，有6个未知数。用位移法求解，未知数=？个。5.力法与位移法的适用范围：力法:超静定结构位移法：超静定结构，也可用于静定结构。一般用于结点较少而杆件较多的刚架。★杆端角位移、杆两端相对线位移（侧移）Δ：顺时针为正位移法正负号规定剪力：以绕隔离体顺时针转动为正。★杆端弯矩：绕杆端顺时针为正、绕结点逆时针为正例：要求用位移法计算图示刚架？为了使问题简化，作如下计算假定：三、位移法的基本解题思路对于受弯杆件，1.略去其轴向变形和剪切变形的影响；2.设发生的弯曲变形是微小的。Z1Z1即认为受弯直杆之间的距离在变形后保持不变由此可知，结点1只有角位移Z1，而无线位移。因此，汇交于结点1的两杆杆端也应有同样的转角Z1。整个刚架的变形只要用角位移Z1来描述，如果能设法求得转角Z1，即可求出刚架的内力。Z1Z1为了求出Z1值，可先对原结构作一些修改这样，原结构就被改造成两个单跨超静定梁：其中：1B是两端固定梁；1A是一端固定、另一端铰结的梁。1A1B基本结构在基本结构上加上原来的力P，由于附加刚臂不允许结点1转动，此时只有梁lB发生变形，梁1A则不变形。此时附加刚臂中产生了反力矩R1P，反力矩规定以顺时针为正。基本结构PR1P于是，基本结构与原结构就发生了差别，表现为：1．由于加了约束，使结点1不能转动，而原来是能转动的。基本结构PR1PZ1Z12．由于加了约束，产生了约束反力矩，而原来是没有这个约束反力矩的。为了消除基本结构与原结构的差别，在结点1的附加约束上人为地加上一个外力矩R11，迫使结点1正好转动了一个转角Z1，于是变形复原到原先给定的结构。R11Z1结点1正好转动一个转角Z1时，所加的附加约束不再起作用，其数学表达式为：R1=0即在外荷载和应有的转角Z1共同作用于基本结构时，附加约束反力矩等于零。根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加：R1＝R11＋R1P=0（a)R11--使附加刚臂1发生转角Z1时所产生的约束反力矩。R1P—基本结构在荷载作用下附加刚臂1处产生的约束反力矩。为了将式(a)写成未知量Z1的显式，将R11写为11111ZrR为单位转角（Z1＝1）产生的约束反力矩。11rR11Z1R1＝R11＋R1P=0（a)式（a）变为：01111PRZr1111rRZP其物理意义是，基本结构由于转角Z1及外荷载共同作用，附加刚臂1处所产生的约束反力矩总和等于零。由此方程可得：11r可见，只要有了系数及自由项R1P，Z1值很容易求得。R1＝R11＋R1P=0（a)为了求出上式中的R1P和，可先用力法分别画出各单跨超静定梁在梁端1、柱顶1处分别转动单位角位移（即Z1=1）时的弯矩图及在外荷载单独作用下的弯矩图。11r1Mr11Z1=1画出各单跨超静定梁在梁端1、柱顶1处分别转动单位角位移（即Z1=1）时的弯矩图1APR1PP8Pl8PlMP图画出各单跨超静定梁在外荷载单独作用下的弯矩图现取图、MP图中的结点1为隔离体，由力矩平衡方程，求出：1M01MlEIr711PlRP8111MP8Pl8PlMP图将这些结果代入位移法基本方程中后解方程，即得EIPlZ5621最后，根据叠加原理，即可求出最后弯矩图。11ZMMMP01111PRZrlEIr711PlRP8111.在原结构产生位移的结点上设置附加约束，使结点固定，从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载；通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力和变形。综上所述，位移法的基本思路是：２.人为迫使原先被“固定”的结点恢复到结构原有的位移。位移法中需要解决的问题：⑴解出单跨超静定梁在常见外部因素作用下的内力。⑵确定以哪些结点的哪些位移为基本未知量。⑶如何建立一般情形下的基本方程。先用力法求解单跨超静定梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11BCACXXXX22221211212111221133221EIllEI211263121EIllEICABCl21)(§8-2等截面直杆的转角位移方程ΔABθAθBAB一、由杆端位移计算杆端弯矩与剪力弦转角βABBABAABlXEIlXEIllXEIlXEIl21213663称为杆件的线刚度令,lEIiABBAABBAliiiXliiiX64262421X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11，可得代替，代替用21XMXMBAABΔθAθBABABBABAABBAABliiiMliiiM642624两端固定等截面梁的杆端弯矩的一般计算公式，通常也称为转角位移方程两端固定的等截面梁LΔ6i4iθ2iθMLΔ6i2iθ4iθMABBABAABBAABLMMFFBAABQBAQAB2ABBAQBA2ABBAQABLΔ12iL6iθL6iθFLΔ12iL6iθL6iθFΔθAθBABABBABAABBAABliiiMliiiM642624可由两端固定的等截面梁转角位移方程推出：----两端固定的等截面梁转角位移方程ABθA如何计算一端固定、另一端铰支等截面梁的转角位移方程？ΔθAθBAB因为B端为铰支，liiMAAB33ABABl321将上式θB代入MAB式可得：可由MBA=0，可得：----一端固定、另一端铰支的等截面梁转角位移方程ABθA常见的单位杆端位移引起的杆端弯矩和剪力单跨超静定梁MABMBAQAB=QBA4i2iθ=1ABAB1212lili6li6li6AB10li3ABθ=13i023liABθ=1i－i0li3二、由外部荷载求固端反力矩mABEIql82qlmAB82qlmBAEIqlmBABABABAABBAABmliiiMmliiiM642624»在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角位移方程）：FABMFBAM——固端弯矩。(两端固定的梁在荷载、温度变化的作用下的杆端弯矩)两端固定的等截面梁转角位移方程:一端固定、另一端铰支的等截面梁转角位移方程：一端固定、另一端定向滑动支座的等截面梁转角位移方程：FBAFABMMABAAABiθMiθM形常数与载常数基本构件要求:熟练记忆三类基本构件的形常数和载常数,并能正确画出相应的弯矩图和剪力图三类基本构件由杆端单位位移引起的杆端弯矩和剪力三类基本构件在荷载作用下的杆端弯矩和剪力形常数载常数1形常数—根据力法求得（等截面直梁由杆端单位位移引起的杆端弯矩和剪力）1AB42ABBAMiMi4i2iAB6i/lABQ6/Fil1AB6i/l6i/lAB12i/l2AB6/6/ABBAMilMil2Q12/Fil3iAB1AB3ABMi3i/lABQ3/Fil3/ABMil2Q3/Fil1AB3i/lAB3i/l2AB1ABiiABBAMiMiABQ0FAB2载常数（等截面直梁在荷载作用下的杆端弯矩和剪力）FQFQ/2/2ABBAFqlFqlF2F2/12/12ABBAMqlMqlqql2/12ql2/12ql/2ql/2ABABABFPFP/8/8ABBAMFlMFlFQPFQP/2/2ABBAFFFFFPFPl/8l/2l/2FPl/8FP/2FP/2ABABABqABql2/85ql/83ql/8ABABFQFQ5/83/8ABBAFqlFqlF2/8ABMqlFP3FPl/16l/2l/211FP/165FP/16ABFP3/16ABMFlFQPFQP11/165/16ABBAFFlFFlABABqql2/3qlql2/6lABFQFQ0ABBAFqlFF2F2/3/6ABBAMqlMqlABABFPl/2l/23FPl/8FPl/8FPABABABFPFP3/8/8ABBAMFlMFlFQPFQ0ABBAFFF1AB1AB1AB1AB1AB1计算形常数时常见的几种单跨超静定梁小结FPl/2l/2ABqABqABFPl/2l/2AB2计算载常数时常见的几种单跨超静定梁qlABFPl/2l/2AB表8-1等直梁杆端弯矩和剪力。P181§8-3位移法的基本未知量和基本结构一、位移法的基本未知量----独立的结点位移（角位移和线位移）1.无侧移结构121独立结点角位移的数目=刚结点的数目两个假定：1.略去受弯杆件的轴向变形和剪切变形影响；2.发生的弯曲变形是微小的。即认为受弯直杆之间的距离在变形前后保持不变----基本未知量为所有刚结点的转角2.有侧移结构123独立结点线位移数=铰结体系的自由度----基本未知量为独立结点的角位移和线位移两个假定：1.略去受弯杆件的轴向变形和剪切变形影响；2.发生的弯曲变形是微小的。即认为受弯直杆之间的距离在变形前后保持不变独立结点角位移的数目=刚结点的数目注意:（1）结构带无限刚性梁时，若柱子平行，则梁端结点转角为0。（2）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。ΔΔ（3）固端支座处——角位移=0铰支座，铰结点处——角位移不独立。注意：AB杆需考虑轴向变形EA23线位移角位移例：判断下列结构中节点位移的数量？11线位移角位移例：判断下列结构中节点位移的数量？32线位移角位移03线位移角位移例：判断下列结构中节点位移的数量？13线位移角位移03线位移角位移基本结构:在原结构中增加附加约束（刚臂、链杆）后,使原结构的结点不能发生位移。此时，基本结构=单跨超静定梁的组合体。基本体系：基本结构在荷载和基本未知量（独立的结点角位移和线位移）共同作用下的体系。原结构q基本结构基本体系q12基本体系q12二、基本结构与基本体系Δ1Δ1Δ2F1F2F1=0F2=0F1PF2Pk21×Δ1k11k22k12位移法基本体系0022221211212111PPFkkFkkF1=0F2=0×Δ2Δ1Δ1Δ2Δ1=1Δ1Δ2=1§8-4位移法的典型方程及计算步骤例：F1=0F2=00022221211212111PPFkkFkkF1=0F2=0•k11、k21──基本结构在Δ1=1单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；•k12、k22──基本结构在Δ2=1单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；•F1P、F2P──基本结构在荷载单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力。位移法方程的含义：基本结构在结点位移和荷载共同作用下，在附加约束中所产生的的总约束力(矩)等于零。本质上是力的平衡方程。Δ1Δ1Δ2F1F2位移法基本体系Δ1Δ1Δ2F1PF2Pk21×Δ1k11k22k12×Δ2Δ1=1Δ1Δ2