郑州大学2005级微积分下考试试题A

郑州大学2005级微积分下考试试题A郑州大学2005级微积分(下)(理工)试题（A卷）一、填空题（每小题4分，共15分）1．级数是否收敛？答：_________________2.函数z=xcosy,求全微分___________3.函数在区间上的Fourier级数为,则=_______________4.=__________________5.曲线处的切线方程为_______________二、计算题（前4题各6分，后4题各8分，共56分）1.计算2.设函数z=z(x,y)由方程确定，求微分dz3.计算第一型曲线积分,其中为抛物线上从点O(0,0)到点A(2,2)的一段弧。4.计算第二型曲线积分取正向5.计算第一型曲面积分被平面z=1截下的部分。6.计算第二型曲面积分取上侧7.求幂级数的收敛区间与和函数（要讨论收敛区间端点处的敛散性）8.三、（10分）设函数满足且求在区域的最大值。四、（10分）设f(x)在（-∞，∞）连续可导，且对于平面上不包围原点的任一条简单闭曲线五、（9分）求曲面在点处的切平面与曲面所围成立体的体积。郑州大学2005级高等数学（下）理工课程试题及其参考答案一．填空题（每小题3分，共15分）1．级数是否收敛？答：2．.函数求全微分3．函数在区间上的Fourier级数为，则;4．5．曲线，在点处的切线方程为二计算题（前4题各6分，后4题各8分，共56分）1。计算其中解：2．设函数由方程确定，求微分解：方程两边微分，得：，故。3．计算第一型曲线积分，其中L为抛物线上从点到点的一段弧。解：4．计算第二型曲线积分，其中L是圆周，取正向。解：5．计算曲面积分S为圆锥面被平面截下的部分。解：由圆锥面方程，得：所以6．计算第二型曲面积分其中为上半球面的上侧。解：补充辅助平面取下侧。则由高斯公式：7．求幂级数收敛区间及和函数（要讨论收敛区间端点处的敛、散性）解：（一）由于所以，又当时，发散；当时，收敛，收敛域（二）令，则，故8．设有连续的二阶偏导数，，求：三．（10分）设函数满足且求在区域的最大值。解：（一）由于所以，又故令，得（二）在边界上，令可得又。所以，在区域的最大值3。四．应用题（10分）设在连续可导，且对于平面上不包围原点的任一条简单闭曲线，都有试证明：证明：（一）由于所以即：亦即因对任意点若x=0，y不能为0，要恒等必须f’(x)-1=0可得：五．（9分）求曲面在点处的切平面与曲面所围成立体的体积。解：（一）令则曲面在点的切平面之法向量为：所以，切平面的方程为即（二），消，得：，故切平面与曲面所围成的立体在面上的投影区域为(3)