郑州大学2005级微积分考试试题A

郑州大学2005级微积分考试试题A郑州大学2005级（上）理工科专业微积分试题（A卷）一、求极限：（每题5分，共20分）分数评卷人1．2.3．4.二、求导数或微分：（每题5分，共20分）分数评卷人1．2．设3.设y=y(x)由方程所确定，求y’(0)4．三、求下列积分：（每题6分，共30分）分数评卷人1．2．3.4.5.求四、[本题10分]设x为实数，的分数评卷人单调性，凹凸性，奇偶性。五、[本题12分]分数评卷人在曲线上点M处作一切线使其与曲线及x轴所围平面图形面积为，求1.切点M的坐标及过切点M的切线方程。2.上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。六、[本题8分]设函数f(x)满足f”(x)–f(x)=0且曲线y=f(x)在原点外与直线y=x相切，求f(x).分数评卷人郑州大学2005级微积分（上）A理工课程试题及其参考答案一．求下列极限1．解：2．解：3．解：4．解：二．求下列函数的导数或微分1．，求解：2．，求解：两边取对数上式两边关于求导，得：所以，，3．设函数由方程确定，求解：方程两边同时关于求导，得：所以，故4．设求解：三．求下列积分1．解：2．解：3．解：4．已知是的一个原函数，求解：5．解：四．设。（1）研究的单调性及上（下）凸性；（2）研究的奇、偶性。解：（一）1．因为，所以，在内单增；2．又因为故（1）当时，在内是下凸的；（2）当时，在内是上凸的。（二）故为奇函数。五．在曲线上点M处作一切线使其与曲线及x轴所围平面图形面积为，求1.切点M的坐标及过切点M的切线方程。2.上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。解：（一）设切点为，则切线方程为，即。所以，解得：于是，切点为，切线方程为（二）切线与轴的交点为，则所求旋转体的体积为六．求微分方程在初始条件下的特解。解：（一）微分方程的特征方程为其特征根为故方程通解为（二）代入初始条件后，得：，解得故原微分方程的特解为：