郑州大学2007级高等数学下课程试题A

郑州大学2007级高等数学下课程试题A郑州大学2007级高等数学（下）课程试题（A卷）合分人：复查人：一、填空题：（每题3分，共15分）分数评卷人1方程的通解.2函数，求全微分.3函数在区间上的Fourier级数为,则.4.5曲线在点处的切线方程为.二、计算题：（前4题各6分，后4题各8分，共56分）分数评卷人1计算,其中.2设函数由方程确定,求微分.3计算第一型曲线积分,其中为抛物线上从点到点的一段弧.题号一二三四五总分分数4计算第二型曲线积分，为圆周,取正向.5计算第一型曲面积分,为圆锥面被平面截下的部分.6计算第二型曲面积分,是上半球面,取上侧.7求幂级数的收敛区间与和函数.(要讨论收敛区间端点处的敛散性).8设有连续的二阶偏导数,,求.三、（10分）分数评卷人设函数满足且,求在区域上的最大值.四、(10分)分数评卷人设在连续可导,且对于平面上不包围原点的任一条简单闭曲线,都有,试证明:.五、(9分)分数评卷人求曲面在点处的切平面与曲面围成立体的体积.郑州大学2007级高等数学（下）课程试题答案（A卷）合分人：复查人：一、填空题：（每题3分，共15分）1方程的通解.2函数，求全微分.3函数在区间上的Fourier级数为,则2.40..5曲线在点处的切线方程为二、计算题：（前4题各6分，后4题各8分，共56分）1计算,其中.解：视为区域，则2设函数由方程确定,求微分.解：方程两边取微分，得即整理，得：3计算第一型曲线积分,其中为抛物线上从点到点的一段弧.解：所以，4计算第二型曲线积分，为圆周,取正向.解：（格林公式）5计算第一型曲面积分,为圆锥面被平面截下的部分.解：将投影在面上，其投影区域为：由圆锥面，得故6计算第二型曲面积分,是上半球面,取上侧.解：取（下侧），并记围成的空间区域为则由高斯公式：（球坐标系下）又故7求幂级数的收敛区间与和函数.(要讨论收敛区间端点处的敛散性).解：（一）先求收敛区间令因为，故收敛半径为又当级数即为发散；当级数即为收敛，故收敛区间为（二）求和函数令，则故8设有连续的二阶偏导数,,求.解：；三、（10分）设函数满足且,求在区域上的最大值.解：（一）先求因为，故又，所以，因此，（二）求在上的最大值.（一）内部令得在内有唯一驻点（二）边界上令由得或比较知在上的最大值为3。注意：其中（二）边界上，也可这样求故由上式显见在上，再与比较，即知在上的最大值为3。四、(10分)设在连续可导,且对于平面上不包围原点的任一条简单闭曲线,都有,试证明:.证明：令因为对于平面上不包围原点的任一条简单闭曲线,都有，故一定满足对于有即有化简，得有（1）特别地，（1）中令得此为可分离变量方程，即（2）又将代入（1）式，得对成立，故所以，。五、(9分)求曲面在点处的切平面与曲面围成立体的体积.解：由曲面，令得在点处的切平面的法向量为故在点处的切平面方程为即设该切平面与曲面围成立体的体积为则其中故注意：其中投影区域的求法：联立消去得投影曲线为故