蒋程庆二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

1二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题考纲要求：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来；解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；利用图解法求得线性规划问题的最优解。基础知识：1．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线。）不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(yx,)，把它的坐标（yx,)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）。所以画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当0C时，常把原点作为此特殊点。3.线性规划的有关概念①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．2④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解[结论一]线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.[结论二]线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．典例精讲:例1画出不等式44xy表示的平面区域。解：先画直线44xy（画成虚线）.取原点（0，0），代入x+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,∴原点在44xy表示的平面区域内，不等式44xy表示的区域如图：变式训练1.画出不等式1234yx所表示的平面区域。变式训练2.画出不等式1x所表示的平面区域。例2用平面区域表示.不等式组3122yxxy的解集。分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。解：不等式312yx表示直线312yx右下方的区域，2xy表示直线2xy右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。3变式训练1.画出不等式04)(12(）yxyx表示的平面区域。变式训练2.由直线02yx，012yx和012yx围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为。例3求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件.1,1,yyxxy解：不等式组表示的平面区域如图所示：当x=0,y=0时，z=2x+y=0点（0，0）在直线0l:2x+y=0上.作一组与直线0l平行的直线l:2x+y=t,t∈R.可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.所以zmax=2×2-1=3.变式训练1.求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件.35,1,1535yxxyyxxy(12,12)(-1,-1)(2,-1)2x+y=0x+y-1=0x-y=0CBAO21-1-2-11234变式训练2.若实数x，y满足1311xyxy求4x+2y的取值范围。变式训练3.已知x、y满足不等式,求z=3x+y的最小值。0,01222yxyxyx