相似三角形复习专题

荣江学校九年级数学（上）导学案班别：姓名：相似三角形复习专题★知识点一：比例线段1、比例线段：在四条线段dcba,,,中，如果ba和的比等于dc和的比，即acbd，那么这四条线段dcba,,,叫做成比例线段，简称比例线段。2、比例中项：如果三个数a，b，c满足比例式abbc，那么b叫做a、c的比例中项，此时有2bac。3、黄金分割：如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使PBAPAPAB，那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，比值叫做黄金比。512长短＝＝全长≈0.6184、比例式变形：acabcdbdbd或aacbbd5、（比例的有关性质）：()()()abcdacdcbdbadbca，交换内项，交换外项．同时交换内外项等比性质：1、如果ab＝23，那么aa＋b＝＿＿＿＿＿。2、若ab＝35，则a＋bb的值是()A、85B、35C、32D、583、已知：151110accbba，求cba::的值4．（2015东营）若34yx，则xyx的值为（）A．1B．47C．54D．745.若3x-4y=0，则xy=，x+yy=.6.1.下列各组数中，成比例的是（）A.-7,-5，14，5B.-6，-8，3，4C.3，5，9，12D.2，3，6，12★知识点二：相似三角形1、定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。两个等边三角形一定相似。两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。1、下列四组图形中，一定相似的是()A.正方形与矩形B.正方形与菱形C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形cdabdbcaacbd或合比性质：ddcbbabcaddcba（比例基本定理）bandbmcandbnmdcba:)0(等比性质2.给出下列四个命题，其中真命题有()(1)等腰三角形都是相似三角形；(2)直角三角形都是相似三角形；(3)等腰直角三角形都是相似三角形；(4)等边三角形都是相似三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个★知识点三：相似三角形的判定1、定义法：相等，成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。归纳总结：可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。1如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，请你添加一个条件，使△ABC和△AED相似。在图上标示或写出你添加的条件，并说说理由。(想到的越多越厉害哟！)交流：要使有公共角（或一对角相等）的两个三角形相似，选用的判定是（）尽管所填的条件不同，两个三角形的对应关系只有（）种。如何寻找有利的角？有利的角包含哪些：3.数学口诀----证等积式或比例式证相似，比线段，添线平行成习惯；等积式子比例换，寻找线段很关键；直接证明有困难，等量代换少麻烦；斜边上面作高线，比例中项一大片.ABCDABCD平行法：1.如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（）A.＝B.＝C.＝D.＝2.如图，AB与CD相交于点O，AD∥BC，AD∶BC=1∶3，AB=10，则AO的长是___________.3.如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF:FD=1:3，则BE:EC=（）4.如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A.3对B.4对C.5对D.6对5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）A．6B．5C．4D．36.如图，(1)若AE:AB=________,则△ABC∽△AEF；(2)若∠E=_______，则△ABC∽△AEF.7.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，P是BC边中点，AP交BD于点Q.则的值为________．两角相等：1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．2、如图，CD是直角三角形ABC斜边上的高，已知AB=25cm，BC=15cm，求BD的长。CADB两边夹角：1．（2015随州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）CDBAOA．∠AED=∠BB．∠ADE=∠CC．ADACAEABD．ADAEABAC2．如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为．三边比例：1、给出下列条件，判断ABC与CBA是否相似，并说明理由。（1）5,1,2,10,2,2CACBBAACBCAB（2）10,12,3,5,6,5.1CACBBAACBCAB直角三角形斜、直分别成比例：1．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．综合：1.若△ABC与△A1B1C1的相似比为2:3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2:3，那么△ABC与△A2B2C2的相似比为2.在△ABC中，已知AB=3，BC=5。在△A/B/C/中，已知A/B/=6，若△ABC∽△A/B/C/，则B/C/=3．（2015荆州）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C；B．∠APB=∠ABC；C．APABABAC；D．ABACBPCB4．已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上。下列条件中，不能．．推断△ADE与△ABC相似的是（）（A）∠ADE=∠B；（B）∠ADE=∠C；（C）BCDEABAD；（D）ABAEACAD；★知识点四：相似三角形的几种基本图形注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“X”型。2、在利用定理证明时要注意A型图的比例ADABDEBCAEAC，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成ADDBDEBCAEEC的错误。（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）（补充图）补充：如图（射影定理型公式）①②③(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。3、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明三角形相似及比例式或等积式。4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。★知识点五：相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的____________(2)相似三角形的______________(3)相似三角形的对应_________的比，对应_____的比和对应___________的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于_______。(5)相似三角形的面积比等于__________。（6）相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C21.两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为()2若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（）BEACD12ABCDE12AABBCCDDEE12412ECABDEABC(D)EADCB(1)EABCD(3)DBCAEA．1∶4B．1∶2C．2∶1D．１∶23两个相似三角形的周长之比为3：4，则这两个三角形的面积之比为：。4两相似三角形的相似比为3:1，面积和为80，则较大的三角形面积为5.一个三角形三边长之比为4：5：6，三边中点连线组成的三角形的周长为30cm，则原三角形最大边长为（）A、44厘米B、40厘米C、36厘米D、24厘米6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，BD＝2，则△ADE与四边形DBCE的面积比是（）（A）3︰2；（B）3︰5；（C）9︰16；（D）9︰4．7.如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：18、ΔABC中，DE//BC，且SΔADE:S梯形BCED=1:2，则DE:BC的值是（）A．1:2B．1:3C．1:2D．1:39、如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，下列结论不正确．．．的是()A、BF=21DFB、S△FAD=2S△FBEC、四边形AECD是等腰梯形D、∠AEB=∠ADC★知识点六：相似三角形的应用1如图,铁路道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（）A.4mB.6mC.8mD.12m2．(2013．北京)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于()A．60mB．40mC．30mD．20m3．（2015天水）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点4出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知ABIBD．CDIBD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是______米4．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，求木竿PQ的长度BCADEABCDEF5.小强用这样的方法来测量学校教学楼的高度：如图，在地面上放一面镜子（镜子高度忽略不计），他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，他请同学协助量了镜子与教学楼的距离EA=21米，以及他与镜子的距离CE=2.5米，已知他的眼睛距离地面的高度DC=1.6米，请你帮助小强计算出教学楼的高度。（根据光的反射定律：反射角等于入射角）6．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？7.如图△ABC中,AB=8,AC=6,如果动点D以每秒2个单位长的速度,从点B出发沿BA方向向点A运动,同时点E以每秒1个单位的速度从点A出发测AC