试验设计第2章单因子试验的设计与分析.

第2章单因子试验的设计与分析2.1单因子试验2.2单因子方差分析2.3多重比较2.4效应模型2.5正态性检验2.6方差齐性检验2.1单因子试验指标：叶酸含量，因子：绿茶，水平：产地◈平衡设计与不平衡设计例2.1.1茶是世界上最为广泛的一种饮料，任一种茶叶都含有叶酸(folacin),它是一种维他命B.如今已有测定茶叶中叶酸含量的方法.研究各产地绿茶的叶酸含量是否有显著差异.重复数相等的设计称平衡设计，重复数不等的设称不平衡设计◈完全随机设计全部试验的试验次序随机安排2.1单因子试验例2.1.1的试验安排因子A的水平试验编号1A12345672A891011123A1314151617184A192021222324随机化将1~24随机排列，根据随机次序安排试验因子A的水平数据（毫克）样本均值1A7.96.26.68.68.910.19.68.272A5.77.59.86.18.47.503A6.47.17.94.55.04.05.824A6.87.55.05.36.17.46.3510987654A1A2A3A42.1单因子试验数据的打点图(dotplot)从均值看：A1,A2叶酸含量较高从极差看：A4较小2.1单因子试验◈单因子试验的数据结构在一个试验中只考察一个因子A及其r个水平A1，A2，…，Ar．在水平Ai下重复mi次试验，总试验次数n=m1+m2+…+mr．记yij是第i个水平下的第j次重复试验的结果，经过随机化后，所得的n个试验结果列于下表表2.2.1单因子试验的数据因子A的水平数据和均值1A111211myyy1112111myyyT111/mTy2A222221myyy2222212myyyT222/mTy……rArrmrryyy21rrmrrryyyT21rrrmTy/2.1单因子试验◈单因子试验的基本假定正态性：yij是来自正态总体的样本2(,)iiN方差齐性：r个正态总体的方差相等22212r随机性：所有数据yij是都相互独立相同试验环境随机化2.1单因子试验◈单因子试验的研究对象r个水平的均值是否相等?12,,,r若各均值不全等相等,哪些均值间的差异是重要的？◈单因子试验模型iijiijmjriy,,2,1,,2,1，，第i水平下第j次试验结果第i水平均值，是待估计参数第i水平下第j次试验误差2~(,),ijiijyNy相互独立2.1单因子试验◈各水平均值的估计211()imrijiijQy采用使Q达最小的最小二乘估计ˆ(1,2,,)iiyir2.2单因子方差分析检验假设012112::,,,rrHH不全相等◈偏差平方和及其自由度21()kjjQyy1()0kjjyy偏差平方和自由度f平方和中独立偏差的个数2.2单因子方差分析定理2.2.1若y1,y2,…,yk是来自正态总体N(μ,σ2)的一个样本，则有21~(,)yNk、222~(1)Qk、3yQ、与相互独立◈偏差平方和的性质22111()kkjjjjTQyTyk、2、每个数据加上同一个常数c,偏差平方和不变3、每个数据乘以同一个常数c,偏差平方和变为原来的c2倍2.2单因子方差分析◈总平方和的分解公式22211111iimmrrrTijijiiiijijiSyyyymyy组内平方和(误差平方和)组间平方和(因子平方和)TeASSSTeAfff1,,1TeAfnfnrfr2.2单因子方差分析◈各平方和的计算121212iiiirrrTyyyTTTTnmmm，，2211imrTijijTSyn22221212rArTTTTSmmmn22121,(1,2,,)imieriijjiTSQQQQyirm使用T与Ti计算各平方和不会出现舍入误差，可以提高计算精度2.2单因子方差分析◈各平方和的期望定理2.2.2在单因子方差分析的三个基本假定下有2()()eESnr221()(1)()rAiiiESrm11()riiimEyn均方和,1eAeASSMSMSnrrMSe是σ2的无偏估计MSA是σ2的有偏估计,偏差大小取决于各水平均值间的差异2.2单因子方差分析◈方差分析表~(1,)AeMSFFrnrMS拒绝域为：1(1,)FFrnr来源平方和自由度均方和F比因子AriiiAyymS12)(1rfA1rSMSAAeAMSMSF误差erimjiijeiyyS112)(rnfernSMSee——和TrimjijTiyyS112)(1nfT————2.2单因子方差分析◈诸水平均值的估计点估计ˆiiy区间估计1/2ˆ()(1,2,,)iiytnrmirˆeMS2.2单因子方差分析例2.2.1例2.1.2中茶叶叶酸含量在各水平下的是否有显著差异例2.2.2计算5个数98，100，101，103，108的偏差平方和例2.2.3比较四种不同牌号的铁锈防护剂的防锈能力.2.3多重比较◈多重比较问题同时比较任意两个水平均值之间有无显著差异的问题称为多重比较问题同时同时检验如下假设：0:,,,1,2,,ijijHijijr2(rC个)◈重复数相等情况的T法(Turkey,1953)考虑r个水平,各水平的重复数均为m拒绝域的形式为：{||}ijijWyyc2.3多重比较◈重复数相等情况的T法(Turkey,1953)检验统计量：~()/iieeytfMSm()maxmin///iiiiiieeePWyycPMSmMSmMSm1(,)erqrfttt化极差统计量,可查表获得分位数2.3多重比较◈重复数相等情况的T法(Turkey,1953)显著水平为α的临界值：(1)(,)/eecqrfMSm拒绝域：(1)||(,)/(,,1,2,,)ijeeyyqrfMSmijijr例2.3.1在显著水平0.05下对例2.2.5做多重比较2.3多重比较◈重复数不等情况的S法(Scheffe,1953)0:ijijH成立时，有211~0,ijijyyNmm2~(1,)11ijijeeijyyFFfMSmm检验统计量：2.3多重比较◈重复数不等情况的S法(Scheffe,1953)ijijWFc拒绝域()maxijijPWPFcmax~(1,)1ijijeFFrfr111(1)(1,)eeijijrFrfMScmmijijyyc若则拒绝0ijH2.4效应模型◈效应模型及其分类ijiijya，..2~(0,)iidijN效应模型固定效应模型随机效应模型r个水平是特定的r个水平是从诸多水平中随机挑选出来的2.4效应模型◈固定效应模型数据结构ijiijya，..2~(0,)iidijN110riiiman固定效应模型方差分析检验假设012112:0:,,,rrHaaaHaaa不全为0与单因子方差分析等价11riiimn(1,2,,)iiairijiijy2.4效应模型◈固定效应模型参数估计估计总均值μ与诸效应ai,采用最小二乘估计,使2111(,,,)()imriijiijaaya在ai的约束条件下达最小，可得ˆˆ1/;(1,2,,)iiyTnayyir、2、ai的区间估计为：1/211()ieiyytnrMSmn2.4效应模型◈固定效应模型参数估计1/211()ijeijyytnrMSmm3、μi-μj的区间估计为：例2.4.1对绿茶叶酸含量问题，求各水平效应的点估计与区间估计2.4效应模型◈随机效应模型数据结构ijiijya，..2~(0,)iidijN..2~(0,)iidiaaN随机效应模型方差分析检验假设2021:0:0aaHHεij与ai相互独立与单因子方差分析与固定效应模型一致22()ijaVary方差分量模型2.4效应模型◈随机效应模型方差分量的估计定理2.4.1在随机效应模型下,误差平方和Se和因子A的平方和SA的数学期望分别为2()()eESnr2221()(1)riAaimESrnn在等重复情况下有：22()(1)1AaESrmrσ2和σa2的无偏估计为2ˆ/()eeMSSnr20ˆAeaMSMSn2101,1,riimnnrnm重复数不等时重复数相等(可能小于0)22ˆmin(,0)aa2.4效应模型例2.4.2绿茶的种类(产地)很多，将例2.1.1中所选的四种绿茶看作从诸多种类绿茶中随机抽取，对其作方差分析,给出方差分量的估计.例2.4.3纺织厂有很多纺机用来纺织纤维，希望各纺机的纤维强度波动小，一致性好。工程师推测，同一台机器纺出的纤维强度间有差异，各台纺机之间纺出纤维强度亦有差异，随机选取四台纺机，在每台纺机生产的纤维中测定四个强度。这一试验以随机顺序进行，所得数据如表。对该问题作方差分析。2.5正态性检验◈正态性的图检验法正态概率纸一种的特殊的坐标纸，横坐标等间隔，用来表示观察值的大小，其纵坐标按标准正态分布函数Φ(x)=P(X≤x)标示，表示观察值不超过x的个数在全部观察值中所占比例2.5正态性检验◈正态性的图检验法在正态概率纸上任一正态分布函数呈上升直线状任一右偏态分布函数呈上凸曲线状任一左偏态分布函数呈下凸曲线状任意两个方差相等的正态分布函数呈平行直线状2.5正态性检验◈正态性的图检验法用正态概率纸检验正态性1.将样本数据进行排序,,一般要求m≥8(1)(2)()myyy2.在点y(j)处的累积概率用修正概率()()()()jjyPYy3/81/4jm或去估计，对j=1,2,…,m计算这些估计值1jm()3/8,(1,2,,)1/4jjyjmm3.将m个点逐一点在正态概率纸上4.用目测法去判断：若m个点近似在一直线附近,则认为该样本来自某正态总体若m个点明显不在一直线附近,则认为该样本来自非正态总体2.5正态性检验◈正态性的图检验法残差概率图当各水平下重复数少于8时，经常会出现明显波动，此时对重复数相等的情况，可用残差把小样本合并成为一个较大样本，再诊断数据是否服从正态分布.21~0,1(1,2,,;1,2,,)ijijieyyNirjmm三个基本假定下，有即：重复数相等时，诸残差来自同一正态分布，对诸残差按照前面所述方法使用正态概率纸即可。2.5正态性检验例2.5.2合成纤维(对成品布)的抗拉强度进行试验，工程师的经验表明：某种合成纤维的抗拉强度与棉花在纤维中所占百分比有关。考虑到成品布的其他质量特性，棉花含量在10%~40%之间为宜。对棉花含量这个因子工程师选定五个水平：A1:15%A2:20%A3:25%A4:30%A5:35%并决定对每个水平各重复进行5次试验，共做25次试验。经过对试验次序随机化共获得25个试验结果如表，对数据作正态性检验并作方差分析.例2.5.3在某种铁锈防护剂的防锈能力的试验中获得容量为10的一个样本，在显著水平0.05下检验它是否来自正态分布。2.5正态性检验◈W检验设从总体X中随机抽取容量为n的样本