反函数的概念

反函数的概念在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与它对应，那么y就是x的函数，记作y=f(x)，x∈D，x叫做自变量，y叫做因变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．函数的概念一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A．如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x)，这样得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)．反函数的概念y=f-1(x)(xA)求反函数的步骤：(1)由y=f(x)解出x=f-1(y)；(2)求出y=f(x)的值域A(y∈A)；(3)写成y=f-1(x)(xA)．(1)例1、求下列函数的反函数(2)(3)(4)(且)42yx31yx21(0)yxx3142xyxxR12x例2(1)函数有没有反函数？(2)求函数的反函数．2,yxxR2,0yxx,0yxx例3若函数，求的值．21()()2fxxxx1(2)f1(2)2f设函数，的图像与其反函数的图像重合，求的解析式．()fx例42()xfxxb()fx2()1xfxx互为反函数图像的关系函数与函数的图像关于直线y=x对称．证明如下：()yfx1()yfx在函数y=f(x)的图像上任意取一点A，设点A的坐标为(a,b)．则b=f(a)．由反函数的定义可知：a=f-1(b)，∴点B(b,a)在函数y=f-1(x)的图像上．而点A与点B关于直线y=x对称，故函数y=f(x)与函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称．已知函数，判断与是否是同一函数．例5),,(),(DAAyDxxfy1[()]yffx1[()]yffx(1)反函数是函数，反函数与原函数是相对的；小结：(2)求反函数的三个步骤；(3)开平方时注意符号的选择；(4)互为反函数的图像关于直线y=x对称；(5)正确理解记号f-1(x)．(1)已知，求f(x)；例61()23,1fxxx(2)求函数的反函数．2,(01),(10)xxyxx21()(3),14fxxx1,(01)(),(10)xxfxxx已知和其反函数图像都经过点(1,4)，求a、b的值．例7()fxaxba=-3,b=7已知函数yf(x)与反函数的图像与直线分别交于点，求的值．例8)(1xfy2xy),(),,(2211yxByxA21xx122xx已知函数，函数y=g(x)的图像与函数的图像关于直线y=x对称，求g(5)的值．例9132)(xxxf)1(1xfy9(5)4g(1)如果一个函数是奇函数，是否一定存在反函数？例10、回答下列问题：(2)如果一个函数是偶函数，是否一定没有反函数？(3)如果一个函数是单调函数，是否一定有反函数？(4)如果一个函数不是单调函数，是否一定没有反函数？设函数，则函数的图像是（）例112()11(10)fxxx1()yfx11xyO11xyO11xyO11xyO(A)(B)(C)(D)B已知yf(x)为奇函数，当，设f(x)的反函数是yg(x)，求g(8)的值．例120,()31xxfxg(-8)=-2函数有反函数，当满足什么要求时，方程有解x=0，且？例13(),,yfxxDyA)(1xfy)(1xfyaxf)(Dxxxf,)(11()0,(),fafxxxA