现代数字信号处理复习题2014

第1页，共55页现代数字信号处理技术复习题一、填空题1、平稳随机信号是指：概率分布不随时间推移而变化的随机信号，也就是说，平稳随机信号的统计特性与起始时间无关，只与时间间隔有关。判断随机信号是否广义平稳的三个条件是：（1）x(t)的均值为与时间无关的常数：Ctmx)(（C为常数）；（2）x(t)的自相关函数与起始时间无关，即：)(),(),(xiixjixRttRttR；（3）信号的瞬时功率有限，即：)0(xxRD。高斯白噪声信号是指：噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时其功率谱密度函数是常数的一类噪声信号。信号的遍历性是指：从随机过程中得到的任一样本函数,好象经历了随机过程的所有可能状态,因此,用一个样本函数的时间平均就可以代替它的集合平均。广义遍历信号x(n)的时间均值的定义为：，其时间自相关函数的定义为：。2、连续随机信号f(t)在区间上的能量E定义为：其功率P定义为：离散随机信号f(n)在区间上的能量E定义为：其功率P定义为：注意:(1)如果信号的能量0E∞，则称之为能量有限信号，简称能量信号。(2)如果信号的功率0P∞，则称之为功率有限信号，简称功率信号。3、因果系统是指：对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与将来时刻的输入无关，则该系统称为因果系统。4、对平稳随机信号，其自相关函数为)(xR，自协方差函数为)(xC，（1）当0时，有：)(xR=xD，)(xC＝2x。（2）当时，有：)(xR=2xm，)(xC＝0。第2页，共55页5、高斯－马尔可夫随机信号的自相关函数的一般表达式可表示为:||)(eRx＝。6、高斯–马尔可夫信号)(tx的自相关函数为||410)(eRx＝，其均值0)(xxRm，均方值10)0(xxRD,方差102xD。其一阶概率密度函数的表达式为：102exp201)(2xxp。注意：（1）)()()(22tmttDxxx（2）一阶高斯随机信号的概率密度函数为：222)(exp21)(xmxxp，式中，xxDR)0(27、求)1(MA的功率谱的一般表达式为:212221)()(jjxeeHS。8、由Wold分解定理推论可知，任何AR或ARMA序列均可用无限阶的惟一MA模型MA(∞)来表示。9、经典功率谱估计的方法主要有周期图法(直接法)和相关图法(间接法)两大类。对经典谱估计方法的改进措施主要有:。10、设计维纳滤波器时使用的正交性原理是指：在最小均方误差（MMSE）准则下，误差e(n)与每一个输入样本x(n-k)都是正交的。11、在训练自适应滤波器时，收敛速度与学习率及输入信号的自相关矩阵的最小特征值取值有关。学习率越大，收敛速度越快；最小特征值越小，收敛速度越慢。12、谱估计的分辨率是指估计值)(ˆS保证真实谱)(S中两个靠得很近的谱峰仍然能被分辨出来的能力，在经典谱估计中，决定谱估计分辨率的主要因素是窗函数的主瓣宽度。注意：主瓣越宽，分辨率越低。13、统计检测理论是利用信号与噪声的统计特性等信息来建立最佳判决的数学理论，主要解决在受噪声干扰的观测中信号有无的判决问题。14、信号估计主要解决的是在受噪声干扰的观测中，信号和波形的确定问题。15、在二元假设检验中，如果发送端发送为H1，而检测为H0，则成为，发送端发送H0，而检测为H1，则称为。16、若滤波器的冲激响应时无限长，称为滤波器，反之，称为滤波器。若滤波器的输出到达最大信噪比成为匹配滤波器；若使输出滤波器的均方估计误差为最小，称为维纳滤波器。17、在参量估计中，所包含的转换空间有参量空间和观测空间。18、在谱估计中，由经典谱估计和现代谱估计组成了完整的谱估计。19、如果系统为一个稳定系统，则在Z变换中，零极点的分布应在单位圆内，如果系统为因果系统，在拉普拉斯变换中，零极点的分布应在左边平面。20.统计检测理论是利用信号与噪声的统计特性等信息来建立最佳判决的数学理论。21.主要解决在受噪声干扰的观测中信号有无的判决问题22.信号估计主要解决的是在受噪声干扰的观测中，信号参量和波形的确定问题。23.在二元假设检验中，如果发送端发送为H1，而检测为H0，则成为漏警，发送端发送H0，而检测为H1，则称为虚警。24.若滤波器的冲激响应时无限长，称为IIR滤波器，反之，称为FIR滤波器25.若滤波器的输出到达最大信噪比成为匹配滤波器；若使输出滤波器的均方估计误差为最小，称为维纳滤波器。26.在参量估计中，所包含的转换空间有参量空间和观测空间第3页，共55页27.在谱估计中，有经典谱估计和现代谱估计组成了完整的谱估计。28.如果系统为一个稳定系统，则在Z变换中，零极点的分布应在单位圆内，如果系统为因果系统，在拉普拉斯变换中，零极点的分布应在左边平面。29.一般采用（协方差函数或者自相关函数）和（偏相关函数）这两个统计量对AR/MA/ARMA三种模型进行识别：如果（偏相关函数）是截尾的，则说明该时间序列适于用AR模型建模。30.Cramer-Rao不等式是用于描述估计量有效性下限的重要公式，对一个估计量进行估计的最小方差是（22ˆ1ˆlndbdxEf）。该不等式可借用Fisher信息量加以描述，请给出Fisher信息量的数学表达式（222lnlnxxJEfEf）。31.在信号检测常用的四种准则中，（Bayes最小风险准则）主要是考虑发生错误给判决造成的代价最小，因此该准则必须需要知道（先验概率）和（代价函数）这两个应用条件。32.在小波分析中，高小波尺度反映的是信号（低）（高还是低？）频段频率。二、问答题1、什么叫能量信号？什么叫功率信号？答：（1）（2）2、什么叫线性时不变系统？什么叫因果系统？答：（1）具有线性性和时不变性的系统叫线性时不变系统。（2）对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与将来时刻的输入无关，则该系统称为因果系统。注意：因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出响应的系统。也就是说，因果系统的响应不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。3、如何判断一个线性时不变系统是稳定的？答：一个线性时不变系统是稳定的充要条件：nnh)(（1）充分性：如果nnh)(成立，对有界的输入，输出也是有界的；（2）必要性：如果系统稳定，nnh)(成立。4、强平稳随机信号和广义平稳随机信号是如何定义的？答：（1）第4页，共55页（2）5、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳－辛欣定理的主要内容。答：(1)连续时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：))(()()(xjxxRFdeRSdeSRjxx)(21)((2)离散时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：mjmxjxemReS)()(deeSmRmjjxx)(21)(6、试列举出随机信号的功率谱密度函数的三条性质。答：7、什么是估计的偏差？什么叫无偏估计？什么叫渐进无偏估计？答：假设估计量为a（a可以是均值、方差、自相关函数等），它的估计值为aˆ，如果aaE)ˆ(，则称aˆ为a的无偏估计，否则称aˆ为有偏估计；定义估计的偏差为：aaEb)ˆ(~，如果估计值aˆ不是无偏估计，但随着样本数目的增加，其数学期望趋第5页，共55页近于真实的估计量，即：0])ˆ([limaaEN，则称估计值aˆ为渐近无偏估计。8、请写出ARMA),(qp的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。答：（1）ARMA),(qp的数学模型表达式：式中，qp,...,,,,...,,2121为常数，100（2）该模型的电路框图如下所示：9、请写出AR)(p的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。答：（1）AR)(p的数学模型表达式:（2）该模型的电路框图如下所示：注意：AR)(p模型又称全极点模型。10、请写出MA)(q的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。答：（1）MA)(q的数学模型表达式:（2）该模型的电路框图如下所示：注意：MA)(q模型又称全零点模型。11、什么是谱估计的分辨率？在经典谱估计中，决定其分辨率的主要因素是什么？答：谱估计的分辨率是指估计值)(ˆS保证真实谱)(S中两个靠得很近的谱峰仍然能被分辨出来的能力，在经典谱估计中，决定谱估计分辨率的主要因素是窗函数的主瓣宽度,主瓣越宽，分辨率越低。12、BT谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。答：（1）相关图法又称BT法，BT谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方法，来对周期图进行平第6页，共55页滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。（2）此方法的具体步骤是：①给出观察序列)1(),...,1(),0(Nxxx，估计出自相关函数：mNnNmN，mnxnxNmR1011)()(1)(ˆ②对自相关函数在（-M，M）内作Fourier变换，得到功率谱：mjMMmemmRS)()(ˆ)(ˆ式中，一般取1Nm，)(m为一个窗函数，通常可取矩形窗。可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。13、AR谱估计的基本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？答：（1）AR谱估计的基本原理是：p阶的AR模型表示为：piinuinxnx1)()()(其自相关函数满足以下YW方程：取pm,...,2,1,0，可得到如下矩阵方程：在实际计算中，已知长度为N的序列)(nx，可以估计其自相关函数)(ˆmRx，再利用以上矩阵方程，直接求出参数p,...,,21及2，于是可求出)(nx的功率谱的估计值。（2）与经典谱估计方法相比，其有以下特点：001)0()1()()1()0()1()()1()0(21pxxxxxxxxxRpRpRpRRRpRRR第7页，共55页14、Burg算法有什么特点？答：(1)不需要估计自相关函数)(ˆnRm,而是从数据)(nx直接求解；(2)比自相关函数法有更好的分辨率，但会出现“谱线分裂”的现象，对于高阶模型可能产生虚假的峰值；(3)对于短序列（N较小），Burg算法的性能不亚于LD算法的性能，N较大时，两者性能相当；(4)Burg算法估计的参数满足，p，，，ii...211，即求出的AR模型总是稳定的；(5)对于有噪声的正弦信号，Burg算法存在着对正弦初相位的敏感问题，尤其当数据长度比较短时，随着频率偏差的增加，这种敏感性就越来越明显，从而会导致与相位有关的频率偏差。15、试简要说明设计维纳滤波器的一种方法。答：如果设计的滤波器是线性非时变的，并按照最小均方误差准则来设计，得到的滤波器即是维纳滤波器。16、在信号检测中，在什么条件下，使用贝叶斯准则，什么条件下使用极大极小准则？什么条件下使用Neyman-Pearson准则？答：先验概率和代价函数均已知的情况下，使用贝叶斯准则，先验概率未知，但可选代价函数时，使用极大极小准则，先验概率和代价函数均未知的情况下，使用Neyman-Pearson准则。17、在参量估计中，无偏估计和渐进无偏估计的定义是什么？答：无偏估计：若估计量的均值等于被估计量的均值（随机变量），即或等于被估计量的真值（非随机参量），则称为的无偏估计。渐进无偏估计：若,称为的渐进无偏估计。18、卡尔曼滤波器是什么？答：卡尔曼滤波器是一种由卡尔曼（K