行列式自学课件

首页上一页下一页结束《线性代数》(第四版)教学课件§11二阶、三阶行列式(一)二阶行列式(二)三阶行列式《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(一)二阶行列式二阶行列式对角线法则1112112212212122aaaaaaaa我们用记号11122122aaaa表示代数和a11a22a12a21称为二阶行列式即《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(1)当0或3时D0(2)当0且3时D01112112212212122aaaaaaaa例2设231D问(1)当为何值时D0(2)当为何值时D0解223(3)31D解223(3)31D解223(3)31D例15152(1)31332例15152(1)31332例15152(1)31332《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(二)三阶行列式三阶行列式我们用记号111213212223313233aaaaaaaaa表示代数和a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31称为三阶行列式即111213212223313233aaaDaaaaaaa11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(二)三阶行列式三阶行列式111213212223313233aaaDaaaaaaa11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31对角线法则a11a23a32a12a21a33a13a22a31a11a22a33a12a23a31a13a21a32111213212223313233aaaaaaaaa《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束111213212223313233aaaDaaaaaaa11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31例312340510610610485830(1)24615034025(1)《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束111213212223313233aaaDaaaaaaa11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31例4实数ab满足什么条件时有000101abba？解2200101abbaabab为实数若要a2b20则a与b须同时等于零因此当a0且b0时给定的行列式等于零解2200101abbaab《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束111213212223313233aaaDaaaaaaa11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31当且仅当a210即|a|1时D0例510100411aDa的充分必要条件是什么?解210101411aDaa因此可得D0的充分必要条件是|a|1解210101411aDaa首页上一页下一页结束《线性代数》(第四版)教学课件§12n阶行列式(一)排列与逆序(二)n阶行列式的定义《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(一)排列与逆序n级排列由n个不同数码12n组成的有序数组i1i2in称为一个n级排列举例定义11(逆序数)在一个n级排列i1i2in中如果有较大的数it排在较小的数is前面(isit)则称it与is构成一个逆序一个n级排列中逆序的总数称为它的逆序数记为N(i1i2in)1234和3421都是4级排列25413是一个5级排列《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(一)排列与逆序n级排列由n个不同数码12n组成的有序数组i1i2in称为一个n级排列举例定义11(逆序数)在一个n级排列i1i2in中如果有较大的数it排在较小的数is前面(isit)则称it与is构成一个逆序一个n级排列中逆序的总数称为它的逆序数记为N(i1i2in)1234和3421都是4级排列25413是一个5级排列N(1234)0N(3421)5N(25413)6《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(一)排列与逆序举例N(1234)0N(3421)5N(25413)6奇排列与偶排列逆序数是奇数的排列称为奇排列逆序数是偶数的排列称为偶排列1234和25413为偶排列3421为奇排列由123这三个数码组成的3级排列共有3!6种其排列情况如下《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(一)排列与逆序奇排列与偶排列逆序数是奇数的排列称为奇排列逆序数是偶数的排列称为偶排列由123这三个数码组成的3级排列共有3!6种其排列情况如下《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(一)排列与逆序对换在一个排列i1isitin中如果仅将它的两个数码is与it对调其他数码不变得到另一个排列i1itisin这样的变换称为一个对换记为对换(isit)举例对排列21354施以对换(14)后得到排列24351N(21354)2而N(24351)5可见对换后奇偶性改变定理11任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变定理12n个数码(n1)共有n!个n级排列其中奇偶排列各占一半《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(二)n阶行列式的定义观察与思考在二阶行列式和三阶行列式中(1)它们的项数与阶数有什么关系?(2)各项的一般形式怎样?(3)各项的符号与下标有怎样的关系?1112112212212122aaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaaa11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束(二)n阶行列式的定义观察与思考1112112212212122aaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaaa11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31在三阶行列式中共有3!6项每项是三个元素的乘积123123jjjaaa当N(j1j2j3)为偶数时取正号为奇数时取负号《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束定义12(n阶行列式)一阶行列式|a|就是an阶行列式有时简记为|aij|用n2个元素aij(ij12n)组成的记号称为n阶行列式它表示代数和1212()12(1)nnNjjjjjnjaaa其中和式中的排列j1j2jn要取遍所有n级排列111212122212nnnnnnaaaaaaaaa《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束定义12(n阶行列式)n阶行列式的代数和中共有n!项每一项都是取自不同的行、不同的列的n个元素乘积且冠以正号的项和冠以负号的项各占一半用n2个元素aij(ij12n)组成的记号称为n阶行列式它表示代数和1212()12(1)nnNjjjjjnjaaa其中和式中的排列j1j2jn要取遍所有n级排列111212122212nnnnnnaaaaaaaaa《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束举例说明a11a22a33a44行标排列为1234元素取自不同的行列标排列为1234元素取自不同的列且逆序数N(1234)0即元素乘积a11a22a33a44前面应冠以正号所以a11a22a33a44为D的一项四阶行列式11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa所表示的代数和中有4!24项《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束举例说明a14a23a31a42行标排列为1234元素取自不同的行列标排列为4312元素取自不同的列且N(4312)5即4312为奇排列所以元素乘积a14a23a31a42前面应冠以负号即a14a23a31a42为D的一项a11a24a33a44有两个元素取自第四列所以它不是D的一项四阶行列式11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa所表示的代数和中有4!24项《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束解要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不为零第n行只能取ann第三行只能取a33第二行只能取a22第一行只能取a11这样的乘积项只有一个即a11a22a33ann因此D(1)N(123n)a11a22a33anna11a22a33ann例1计算n阶行列式112122313233123000000nnnnnaaaDaaaaaaa其中aii0(i12n)《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束下三角形行列式1121221122313233123000000nnnnnnnaaaaaaaaaaaaa上三角形行列式1112131222321122333000000nnnnnnnaaaaaaaaaaaaa对角行列式1122112233000000000000nnnnaaaaaaa结论《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束结论1112111(1)2122212121110(1)000nnnnnnnnnaaaaaaaaaaa1(1)2122121112100000(1)nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaa1(1)21212111000000(1)000nnnnnnnnaaaaaa《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束考察|aij|的非零项第三行和第一列均只有一个非零元素因此非零项必取a21和a32取a21和a32后就不能取a23和a12如取a23则有两个元素取自第二行如取a12则有两个元素取自第二列不取a23和a12则只有取a43和a14这样a14a21a32a43是取自不同行、不同列的元素乘积故(1)N(4123)a14a21a32a43a14a21a32a4311111是行列式|aij|的一项其他项至少含有一个零元素故有|aij|1解例2用行列式定义计算行列式01011010||01000011ija《线性代数》(第四版)教学课件首页上一页下一页结束定理13n阶行列式D|aij|的一般项可以记为12121122()()(1)nnnnNiiiNjjjijijijaaa其中i1i2in与j1j2jn均为n级排列例3若(1)N(i432k)N(52j14)ai5a42a3ja21ak4是五阶行列式|aij|的一项则ijk应为何值?此时该项的符号是什么?由行列式定义每一项中的元素取自不同行、不同列故有j3且有i1时k5或i5时k1当i1j3