行列式的多种计算方法

行列式的多种计算方法--行列式是重要的数学工具和概念之一，它来源于解线性方程组。时至今日行列式理论的应用却远不止于此，它在消元法、矩阵论、坐标变换、多重积分中的变量替换、解行星运动的微分方程组、将二次型及二次型束化简为标准型、运筹学中线性规划和图与网络理论等诸多的问题中都有广泛的应用，然而这些应用最终离不开行列式的计算，它是行列式理论中的一个重要问题。行列式是大学数学中重要的计算工具之一，而高阶行列式的计算，其基本方法和技巧是“化零”和“降阶”，即先利用行列式的性质做恒等变形化简，使行列式中出现较多的零元素，然后套用特殊的行列式的值来计算（如上（下）三角行列式）或利用按行（列）展开定理降低行列式的阶数。1．利用行列式定义直接计算例1计算行列式001002001000000nDnn解Dn中不为零的项用一般形式表示为112211!nnnnnaaaan.该项列标排列的逆序数t（n－1n－2…1n）等于(1)(2)2nn，故(1)(2)2(1)!.nnnDn2．利用行列式的性质计算例2一个n阶行列式nijDa的元素满足,,1,2,,,ijjiaaijn则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ijjiaa知iiiiaa，即0,1,2,,iiain故行列式Dn可表示为1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa由行列式的性质AA1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa12131122321323312300(1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa(1)nnD当n为奇数时，得Dn=－Dn，因而得Dn=0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。例3计算n阶行列式abbbbabbDbbabbbba解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)anbbbbanbabbDanbbabanbbba11[(1)]11bbbabbanbbabbba1000[(1)]000000bbbabanbabab1[(1)]()nanbab4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例4计算n阶行列式00010000000000001000naaaDaa解将Dn按第1行展开1000000000000(1)0000000001000nnaaaaDaaaa12(1)(1)nnnnaa2nnaa.5．逆推公式法逆推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1,Dn－2之间的一种关系——称为逆推公式（其中Dn,Dn－1,Dn－2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。例5证明1221100001000001nnnnxxDxaaaaax12121,(2)nnnnnxaxaxaxan证明：将Dn按第1列展开得12321100001000001nnnnxxDxxaaaaax11000100(1)001nnxax1nnaxD由此得递推公式：1nnnDaxD，利用此递推公式可得112()nnnnnnDaxDaxaxD212nnnaaxxD111nnnnaaxaxx6．利用范德蒙行列式例6计算行列式1222211221212121122111111nnnnnnnnnnnxxxDxxxxxxxxxxxx解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式1222212111112111()nnijnijnnnnxxxDxxxxxxxx7．加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。例7计算n阶行列式12121212nnnnnxaaaaxaaDaaaaaxa解：1100nnnaaDD1211002,,1100100niaaaxinxx第行减第1行（箭形行列式）1211000000000njnjaaaaxxxx11njnjaxx8．数学归纳法例8计算n阶行列式1221100001000001nnnnxxDxaaaaax解：用数学归纳法.当n=2时212211()xDxxaaaxa212xaxa假设n=k时，有12121kkkkkkDxaxaxaxa则当n=k+1时，把Dk+1按第一列展开，得11kkkDxDa1111()kkkkkxxaxaxaa12111kkkkkxaxaxaxa由此，对任意的正整数n，有12121nnnnnnDxaxaxaxa9．拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。例9计算行列式nD11212212nnnnaaaaaaaaa解：nD1212212nnnnaaaaaaaaa1222000nnnnaaaaa122000nnnaaaa11nD1211nnaD……1211niniia10.特征值法设a1，a2……an是级矩阵的全部特征值，则有公式|A|=a1*a2*……*an。故只要能求出矩阵的全部特征值，那么就可计算出A的行列式。具体计算行列式时一般是将几种方法结合起来使用，而不是单独使用一种方法，这需要具体问题具体分析。