误差理论与数据处理2016

误差理论与数据处理误差理论与数据处理ErrorAnalysis&DataProcess张朝晖自动化学院仪器系北京科技大学2016春季误差理论与数据处理课程简况课程编号：1050339课程类别：必修适用专业：测控技术与仪器总学时：28+4学分：2先修课程：高等数学，概率论与数理统计等考核方式：考试(70%)+作业及出勤(30%)误差理论与数据处理参考文献费业泰编，《误差理论与数据处理》，机械工业出版社，2010年，第6版丁振良编，《误差理论与数据处理》，哈尔滨工业大学出版社，2002年，第2版梁晋文，《误差理论与数据处理》，中国计量出版社，2001年，第2版杨惠连编，《误差理论与数据处理》，天津大学出版社，1992年，第1版钟继贵，《误差理论与数据处理》，水利电力出版社，1993年，第1版沙定国，《实用误差理论与数据处理》，北京理工大学出版社，1993年，第1版误差理论与数据处理第1章绪论误差理论与数据处理第1节测量的本质1测量对一个物体或现象进行量（quantity）的描述，称为测量。量=1个数+1个单位误差理论与数据处理第1节测量的本质●量可以是物理、化学、生物、信息等各领域的，但归根到底是物理的，并且可以由7大基本物理量（相互独立）衍生出来：长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度误差理论与数据处理第1节测量的本质●单位将逐渐建立在物理效应上。相应基本量的单位：长度（米）、质量（千克）、时间（秒）、电流（安培）、热力学温度（开尔文）、物质的量（摩尔）、发光强度（坎德拉）误差理论与数据处理第1节测量的本质●数L=10.00mI=0.001A尽管我们想象某个量可能会存在一个确定数，但是，测量过程是人为施加的，测量的结果不会是一个绝对真实的数。误差总是可观存在的。误差理论与数据处理●误差（Error）：误差＝测量值－真值第1节测量的本质理论值:三角形内角之和180º理论值:整圆周角360º约定值:国际千克基准1Kg以后会看到，也可用更高精度表测得的值作为真值。误差理论与数据处理导致误差的原因粗大误差系统误差随机误差第2节存在误差的原因误差理论与数据处理第2节存在误差的原因系统误差（SystematicError）：由于仪器原理不完善、环境变化所造成。在重复测试下，误差具有确定性规律。例如总是“+”，或随测试条件而波动起伏。可以通过标定、环境补偿等方法消除。误差理论与数据处理第2节存在误差的原因随机误差（AccidentalError）：仪器本身、测量环境中不可控因素造成。在重复测试下，误差具有统计性规律（多种）。通过本课程“误差理论及数据处理”，能够显著降低。误差理论与数据处理人的误差(Humanerror):测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的误差。为了减小测量人员误差，测量人员应该了解测量仪器的测量原理和特性，熟练掌握测量规程，精心进行测量操作；对于重要的量，可以多人测量核对。第2节存在误差的原因误差理论与数据处理误差的表达类型引用误差绝对误差相对误差第3节误差的表达误差理论与数据处理特点：绝对误差具有大小、符号、单位。（不是绝对值）第3节误差的表达L＝L－L0绝对误差（AbsoluteError）＝测量值－真值误差理论与数据处理真值L0，或测量值L特点：1）相对误差有大小和符号。2）无量纲，一般用百分数来表示。相对误差（RelativeError）=绝对误差与真值（或测量值）之比第3节误差的表达0LLr误差理论与数据处理引用误差（FiducialError）标称范围（或量程）上限标称范围（量程）内的最大绝对误差mmmxrx特点：方便使用，不需知道具体测量值，只要知道范围即。第3节误差的表达误差理论与数据处理第4节研究误差的意义正确认识误差的性质，分析误差产生的原因从根本上，减小误差正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果通过计算得到更接近真值的数据正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法根据目标确定最佳系统误差理论与数据处理第5节有效数字1有效数字（SignificantFigures）在表达“量”的“数”中，并不是每一位都有意义(携带信息)，右边的低位意义较小、甚至没有意义。如果绝对误差小于最末尾数的半个单位，那么这一位、以及往前直到非零的最高位，都称为有效数字。例如，假设某个测量的最大绝对误差是0.003（0.005），则测量结果读数是1.2345中，有效数字是1.23，后面的4、5都不是有效数字。又如，假设最大绝对误差是0.007（0.05），则测量结果读数1.2345中，有效数字是1.2，后面的3、4、5都不是有效数字。又如，有效数字123.00表明最大绝对误差是0.005，7.20*10^4表明最大绝对误差是50(记法72000是含糊的）。(这里是对测量结果的记录而言，不是寄存器数据0x00FF)误差理论与数据处理第5节有效数字2非有效数字的取舍既然测量仪所显示的数字并不都有意义，为简洁就没必要保留所有显示数据，应该对非有效数字进行取舍。如果已知最大绝对误差是某半位，例如0.005，那么之后的非有效数字可按下规则取舍：（1）小于0.005的，舍弃3.14493.14（2）大于0.005的，进位3.145013.15（3）等于0.005的，凑偶3.165003.163.135003.14事实上，仪表显示的有效数字是根据最大绝对误差设计的，保证都是有效数字。误差理论与数据处理第5节有效数字3不同有效数字的运算（1）在有效数字进行运算之前，为保证最后结果不丢失信息，应多保留一位作为参考数字。（2）在近似数做加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。例:记录数据2643.0,987.7,4.187,0.2354，最大绝对误差小于0.05，求和：2643.0+987.7+4.19+0.24=3635.13≈3635.1（有效数字也能取舍？）48.1+78+65.38=48.1+78+65.4=191.5≈192（有效数字也能取舍？）48.1+78+65.38=191.48≈191（结果相同？）25.6-21.1-2.43=2.07≈2.1误差理论与数据处理第5节有效数字（3）在近似数乘除运算时，以有效位数最少的为准，其余数据可多取一位有效数，但最后结果应与有效位数最少的相同。483*73.67/15.67=2267.7…≈2.27*10^3483*73.678/15.67=483*73.68/15.67=2271.0…≈2.27*10^3（4）在近似数平方、开方、指数运算时，与乘除运算相同。exp(0.0189*25）=exp(0.4725)=1.60…≈1.6误差理论与数据处理第2章误差特征与数据处理误差理论与数据处理对同一量进行重复测量时，测量值（又称为测量列）或者误差的大小、正负会随机变化，不可预测，但是具有统计规律。1正态分布（1）来源如果随机误差是由大量、微小因素迭加而成的，那么这种随机误差服从正态分布。---中心极限定理：大量的、独立的、具有一定（非无限）期望和方差的随机变量之算术平均值，服从正态分布。（无论每个随机变量服从何种分布）第1节随机误差误差理论与数据处理例如：测量装置方面的因素环境方面的因素零部件变形及其不稳定性，信号电路的随机噪声等。温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。第1节随机误差误差理论与数据处理（2）形态式中：σ标准差（或均方根）e自然对数的底2.7182…特点：单峰，对称，有界，0均值标准差的含义：如图)2/(2221)(ef第1节随机误差误差理论与数据处理（3）真值的估计—均值对某量进行一系列等精度测量。设为n次测量的数值，则真值的无偏、最小方差估计就是它们的算术平均值这种估计算法的效果怎么样？数学期望就是真值，即当n很大时非常接近真值；（4）均值的评价之一--标准差方差是，标准差，可见是显著减小、显著改善的。1211nniilllllnnnlll,,,21第1节随机误差n2n误差理论与数据处理如果你是用户（无大量重复测试或标定的条件），应从厂商取得；如果你是厂家，可以用数据列来估计：定义残差，则贝塞尔法（样本方差法）：，别捷尔斯法：极差法：最大误差法：第1节随机误差2222211()11nniiiillSnn21()1niilln1||1.253(1)niivnnmaxminnnlldnd由决定，见下表max||nnvKnK由决定，见下表iivlln-1才能无偏误差理论与数据处理极差法系数表第1节随机误差n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.441nKn234567891011121314dn131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.41最大误差法系数表误差理论与数据处理此时，均值的标准差第1节随机误差ˆnn将取误差理论与数据处理例1求测量列的标准差。解：按贝塞尔法，按别捷尔斯法，按极差法，按最大误差法，0.008250.09080.03030.0303(),0.0096()310110lmmmm()ilmm()ivmm75.045lmm序号1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225102210.00825iivmm2()ivmm第1节随机误差0.2501.2530.0330(),0.0104()1010101lmmmm101||0.250iivmmmaxmin75.0975.000.09llmm0.090.0292(),0.0092()3.0810lmmmm0.045*0.570.0256(),0.0081()10lmmmm误差理论与数据处理（5）均值的评价之二—极限误差单次测量的极限误差一般定义为，即每次测量值落在真值范围内的概率高达99.73%.现在考虑测量n次后的均值，其标准差是，所以极限误差是，超出此范围的概率小到0.27%。继续考虑这个问题。如果不知道σ，就只能用，此时无法再查正态分布表。按照，应该查t分布表。例如n=10，则自由度n-1=9，查超出范围的概率小到0.27%(即置信度99.73%)的极限误差为。第1节随机误差33n3n0(1)/lltnSn4.09/Snˆ()S或误差理论与数据处理第1节随机误差误差理论与数据处理例2求测量列的极限误差。解：置信度99.73%的极限误差为第1节随机误差0.03034.094.094.09*0.00960.03910Sn误差理论与数据处理2均匀分布（1）来源在一定范围内，各点出现的概率相等。例如，刻度盘误差、模数转换误差、机械传动中的空程误差、摩擦滞后误差。第1节随机误差aa21)(fa图2-5o误差理论与数据处理分布密度：分布函数：它的数学期望为：它的方差、标准差分别为：如果厂家未提供a,可以估计：a-a021)(或aδ-aafaaaaaaF当当－－当120)(aadaE0233212226)0(adaaaaaa3a第1节随机误差误差理论与数据处理对于U(0,a),对于U(α,β),（2）真值的估计式第1节随