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第一章绪论1-7用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的绝对误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（Pa）。相对误差=0.3100%0.3%100.51-9使用凯特摆时，g由公式g=4π2（h1+h2）/T2给定。今测出长度（h1+h2）为（1.04230±0.00005）m，振动时间T为（2.0480±0.0005）s。试求g及其最大相对误差。如果（h1+h2）测出为（1.04220±0.0005）m，为了使g的误差能小于0.001m/s2，T的测量必须精确到多少？【解】测得（h1+h2）的平均值为1.04230（m），T的平均值为2.0480（s）。由21224()ghhT,得：22241.042309.81053(/)2.0480gms当12()hh有微小变化12()hh、T有T变化时，令12hhhg的变化量为：22121212231221212248()()()()42[()()]ggghhThhhhThhTTTThhhhTT2223224842()ggghThhThTTTThhTTg的最大相对误差为：122222222124422[][]244()0.000052(0.0005)[]100%0.054%1.042302.0480TThhhhghTTTTTghThhhTT如果12()hh测出为（1.04220±0.0005）m，为使g的误差能小于0.001m/s2，即：0.001g也即21212242[()()]0.001TghhhhTT22420.00051.042200.0012.04802.04800.00051.017780.00106TTT求得：0.00055()Ts1-10.检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值误差2V为最大误差，问该电压表是否合格？【解】引用误差＝示值误差／测量范围上限。所以该电压表的引用误差为：22%100mmmUrU由于：2%2.5%所以该电压表合格。1－13多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.lkm，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高?解：多级火箭的相对误差为：射手的相对误差为：多级火箭的射击精度高。附加1－1测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：相对误差等于：%001.000001.0100001.0%002.00002.05001.0501mmmcm21802000180oo%000031.010000030864.00648002066018021802＝o2第二章误差的基本性质与处理2-2.试述单次测量的标准差和算术平均值的标准差x，两者物理意义和实际用途有何不同？【解】单次测量的标准差表征同一被测量n次测量的测量值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。22212nn算术平均值的标准差x是表征同一被测量各个独立列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准xn在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的1n，当测量次数n愈大时,算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。2-3.试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在2,2中的概率。【解】（1）误差服从正态分布时222222(2)(2)2012(2)22Peded引入新变量t:,tt,经变换上式成为：2202(2)2()20.41950.8484%2ttPedtt（2）误差服从反正弦分布时因反正弦分布的标准差为：2a，所以区间32,2,aa,故:2211(2)1aaPda（3）误差服从均匀分布时因其标准差为：3a，所以区间222,2,33aa，故23231112(2)20.8282%223aaPdaaa2-4.测量某物体重量共8次，测得数据（单位为g）为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40，求其算术平均值及其标准差。【解】①选参考值0236.00x，计算差值236.00iixx、0x和残差iv等列于表中。或依算术平均值计算公式，n=8，直接求得：811236.43()8iixxg②计算标准差：用贝塞尔公式计算：210.02510.06()181niivgn0.060.028xn42－6测量某电路电流共5次，测得数据(单位为mA)为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。解：)(49.168551mAIIii，51()0.0851iiII，0.080.045xn51()220.080.053513iiII0.67450.02xR51()440.080.065515iiII0.79790.03xT2—7在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据(单位为mm)为20．0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99％的置信概率确定测量结果。解：①求算术平均值②求测量列单次测量的标准差用贝塞尔公式计算：284126102.551014niivmmn用别捷尔斯公式计算：410.0008'1.2531.2532.2410(1)54niivmmnn③求算术平均值的标准差442.55101.14105xmmn＝4'2.2410'5xn＝0.0001mmnlxnii0015.2015④求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差做法1：因n＝5较小，算术平均值的极限误差应按t分布处理。现自由度为：ν＝n－1＝4；α＝1－0.99＝0.01，查t分布表有：t＝4.60单次测量的极限误差：433lim4.602.55101.173101.1710xtmm算术平均值的极限误差：44lim4.601.14105.2410xxtmm⑥写出最后测量结果做法2：因假设测量值服从正态分布，并且置信概率P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查正态分布积分表，得置信系数2.6t单次测量的极限误差：44lim2.602.55106.63100.00066xt算术平均值的极限误差：44lim2.601.14102.964100.0003xxt⑥写出最后测量结果lim20.00150.0003Lxxmm2－10用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝0.001mm，若要求测量的允许极限误差为±0.0015mm，而置信概率P为0.95时，应测量多少次？解：根据极限误差的意义，有0015.0nttx根据题目给定得已知条件，有5.1001.00015.0nt查教材附录表3有若n＝5，v＝4，α＝0.05，有t＝2.78，24.1236.278.2578.2ntmmxxL4lim1024.50015.206若n＝4，v＝3，α＝0.05，有t＝3.18，59.1218.3418.3nt即要达题意要求，必须至少测量5次。2-11已知某仪器测量的标准差为0.5μm。①若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为26.2025mm，试写出测量结果。②若重复测量10次，测得值（单位为mm）为26.2025，26.2028，26.2028，20.2025，26.2026，26.2022，20.2023，26.2025，26.2026，26.2022，试写出测量结果。③若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中10次重复测量的测量值，写出上述①、②的测量结果。解：①单次测量的极限误差以3σ计算:lim330.51.5()0.0015()xmmm所以测量结果可表示为：26.2025±0.0015(mm)②重复测量10次，计算其算术平均值为：10126.2025()iixxmm取与①相同的置信度，算术平均值的标准差:0.000510xn-4＝1.5810mmlim334.745xx-4-4-41.58101010mm则测量结果为：326.20250.0005xx(mm)③若无该仪器测量的标准差资料，则依10次重复测量数据计算标准差和表示测量结果。选参考值026.202x，计算差值26.202iixx、0x和残差iv等列于表中。7用贝塞尔公式计算：284142102.2101101niivmmn算术平均值的标准差：42.21010xmmn＝0.00007取与①相同的置信度，则测量结果为：3ix此时①的测量结果为26.202530.0002226.20250.0006626.20250.0007(mm)；②的测量结果为26.202530.0000726.20250.0002126.20250.0002(mm).2-13测量某角度共两次，测得值为α1=24°13’36”，α2=24°13’24”，其标准差分别为σ1=3.1”，σ2=13.8”，试求加权算术平均值及其标准差。【解】已知各组测量的标准差，可确定各组的权。12222212111111::::19044:9613.113.89.61190.44pp取：1219044,961pp8选取02413'36''，可由公式直接计算加权算术平均值和标准差：101190440961(12'')2413'36''190449612413'35.4''miiimiipp加权算术平均值的标准差的计算，先求两测量结果的残余误差：120.6'',11.4''vv算术平均值的标准差为：22211190440.6961(11.4)6.6''(21)(19044961)(1)mixiixmiipvmp2-14解答为下2-15.试证明n个相等精度测得值的平均值的权为n乘以任一个测量值的权。【证明】因为等精度测量，可设n个测得值的标准差均为，且其算术平均值的标准差为：xn又设各测量值的权相等，即：120ipppp。n个相等精度测得值的平均值的权为xp，则：n个相等精度测得值的平均值的权xp与各测得值的权9(1,2...)ipin的比为22111::::1xixinppnxipnp2-17对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。解：先计算算术平均值：