分部积分法(课件)

第4章不定积分数学与应用数学系张益引例：xxedx212xxxedxedx2()ux令12uedu显然不能解决！将xe凑入微分号呢？xxxedxxde还是不能解决！xxxdeedx——udvvdu——它们之间有没有联系呢？udvvduudvvdu——＋()duv＝移项得()udvduvvdu对上式两端同时积分，得()udvduvvdu＋Cudvuvvduudvuvvdu4.3分部积分法()duvudvvdu由函数乘积的微分公式(1)dduvuvvu对上式两端同时积分，得(2)ddxu'vuvxuv'或公式(1)或公式(2)称为分部积分公式.移项得()udvduvvduudvuvvduxxxedxxde用分部积分公式计算引例得：xxxeec在此是令,xuxvexxxeedx解题的关键在于恰当的选择u和v.注意duv比较容易计算时，则利用当分部积分公式将udv化为.vdu212xxxedxedx21()2xxxexedx2,xuevx在此是令21()2xxxexde,xuxve2313xxxedxedx再次用分部积分公式3313()xxxexde3313()xxxexedxxxedx3xxedx2xxedx次数为1次数为2次数为3越来越复杂！下面通过例题来归纳总结到底应该怎样来选择u、v呢？类型一：例1求下列不定积分（1）cosxxdxsinxxdx（2）xxedx（3）2xxedx（4）21coscos2xxdxxdx221(coscos)2xxxdx221(cossin)2xxxxdx2cos,uxvx如果令cosxxdx3cosxxdx2sinxxdx次数为1次数为2次数为3（1）cosxxdxsinsinxxxdxsincosxxxccossinxxdxxdx解：,sinuxvx这里是令2xxedx（4）22xxxeedx22xxxexedxxxdexdxex22解：22()xxxxexeedx22()xxxxexeec再次使用分部积分公式sindcosdednnnxxxxxxxxx形如，，的不定积分解决方法：cossinxxxe、、凑入微分号构成v归纳1：类型二：例2求下列不定积分（1）arctanxxdxsinarcxdx（2）3lnxxdx（3）（1）arctanxxdx2arctan21arctanxdxxdxx解：221(arctanarctan)2xxxdx2221(arctan)21xxxdxx21(arctanarctan)2xxxxcarccos,arctanarccot,arcsinxxdxxxdxxxdxxxdx222111(1)11xdxdxxxsinarcxdx（2）arcsinarcsinarcsinxdxxxxdx解：2arcsin1xxxdxx2211arcsin21xxdxx2211arcsin(1)21xxdxx2arcsin1xxxcarccos,arctan,arccotxdxxdxxdx12duuu3lnxxdx（3）441(lnln)4xxxdx431(ln)4xxxdx4411(ln)44xxxc341lnln4xxdxxdx解：lnxdxarctandarccotdlnxd,arcsind,arccosdnnnnnxxxxxxxxxxxxxx形如，，的不定积分nx凑入微分号构成v归纳2：解决方法：归纳选择凑入微分号构成v先后顺序：(sin,cos)xexx(0)nxn包括课堂练习：P203.一、判断下列积分应该哪部分凑入微分号构成v1、(1)(2)(3)(5)(6)(8)(9)(10)(12)(13)(14)(15)二、计算不定积分1、(3)(6)(12)（3）arctanxdx21(arctan)21xxxdxx211[arctanln(1)]22xxxc解：arctanarctanarctanxdxxxxdx22111[arctan(1)]221xxdxx（6）cos2xxdxcos2cos222xxxxdxxd解：2sin2xxd2(sinsin)22xxxdx2(sin2cos)22xxxc2lnxdxx（12）11(lnln)xxxdx12lnlnxdxxdxx解：12(ln)xxxdx131(ln)3xxxc本课小结1分部积分公式：udvuvvdu2选择凑入微分号的先后顺序：(sin,cos)xexx(0)nxn包括作业布置：计算下列不定积分1、(2)(5)(8)(9)(10)(14)(15)谢谢!