课02(04-05_一维卷积与相关)

0.4.1连续卷积0.4.2一维离散卷积0.4.3一维离散相关§0.4卷积与相关上级目录0.4.1连续卷积[定义]设和为两个连续时间函数，定义卷积)(tf)(tgdtgftgtf)()()()()()()()(tgggtgtt平移折叠式中，—积分过程中的“不动”乘积函数，与时间变量无关；—折叠、平移函数，即)(tg)(f设)()()(tgtfty则对每个t值，的值等于与重叠波形下的面积。当t取不同值时，即得函数的一条连续曲线。)(f)(ty)(tg(1)一维连续卷积：上页移出?)(f取下一个t值)(tyA结束Y计算面积dtgfA)()(a平移t：)(tg取值(如取)tat反折)()(),(ggg改换变量,)(tf)(tg)()(ftf)()(gtgtaN0.4.1连续卷积卷积计算流程[例题1]上页0.4.1连续卷积将一维卷积推广，得到二维连续卷积定义如下：ddyxgfyxgyxf),(),(),(),(或者(交换律)：(2)二维连续卷积：ddyxfgyxfyxg),(),(),(),(以上二重积分的被积函数中，一个是经变量代换的“非移动”函数；另一个则是折叠、平移函数。上页(长度A点)(长度B点)10,)(Axxf10,)(Bxxg定义一维离散卷积1,,2,1,0,)()()()(Mxmxgmfxgxfm0.4.2一维离散卷积[定义]设两个有限长离散函数：求和上、下限？M=？其中m为取样点，x为平移量，M为卷积长度。[例题2]上页0.4.2一维离散卷积讨论(1)为避免卷积混迭误差，需将f(x)和g(x)周期化。方法如下：其中，周期为：M=A+B-110),(Bxxg110,0),()(MxBBxxgxge10,)(Axxf110,0),()(MxAAxxfxfe上页MMBBBBBBgggggggggggggggggg011011101110110110000000000000Te0.4.2一维离散卷积(2)卷积矩阵(卷积算子)Te：矩阵各列是列矢量的循环位移。TBeggg],,,,,[00g110一维情况下,Te为M×M阶方阵。上页0.4.3一维离散相关)()()()()()()(1010mxfxgmxgxfxgxfmReMxeeMxeeefg[定义]若离散函数、为实函数，则一维离散相关定义为)(xf)(xg以及)()()()()()()(1010mxgxfmxfxgxfxgmReMxeeMxeeegf式中，、分别是和的周期化函数。)(xfe)(xge)(xf)(xg返回目录0.4.3一维离散相关以及)()()()()(10xmfmgxfxgxReMmeeegf1,,2,1,0Mx为了与离散卷积比较，现将变量x和m互换，得到)()()()()(10xmgmfxgxfxReMmeeefg1,,2,1,0Mx相关与卷积比较上页0.4.3一维离散相关)()()()(10mxhmfxhxfeMxeee相关与卷积的关系：设有卷积令，由上式可得)()(xgxhee)()()()(10xmgmfxgxfeMxeee)()()()(xgxfxgxfeeee在计算相关函数时，无需沿原点折叠，只需平移。)(mgex上页0.4.3一维离散相关[讨论](1)相关函数与和的位置(或时间)差有关：)(xf)(xgx)()(xRxRgffg(2)若和为非实函数，则相关函数为：)(xf)(xg)()()()()(10xmgmfxgxfxReMxeeefg)()()()()(10xmfmgxfxgxReMxeeegf式中；1,,2,1,0Mx、分别是、的复共轭。)(xfe)(xge)(xfe)(xge上页0.4.3一维离散相关(3)一维离散相关定理：若，则有)()(uFxfe)()()()(uGuFxgxfee)()(uGxge)()()()(uGuFxgxfee(4)一维离散相关的性质：因即一个离散函数的自相关函数与其功率谱是一对傅里叶变换对。)()()()(uFuFxfxfee2)()(uFxRff上页§0.5线性系统分析0.5.1线性系统定义0.5.2单位冲激响应0.5.3卷积定理0.5.4系统传递函数0.5.5线性系统分析0.5.6二维线性非移变系统上级目录)()(tftg或表示为0.5.1线性系统定义返回目录H即)()(tgtf产生)(tg一维系统)(tfH意为：系统对输入施加某种运算(或处理)H，产生输出.)(tf)(tg接收一个（或多个）输入并产生相应输出的任何实体。系统非移变系统0.5.1线性系统定义满足叠加性与齐次性的系统，即为线性系统。)()()(111tgktfktfkiniiiniiiniiHH线性非移变系统满足：即：输入平移T，输出平移同样长度T，其它不变。)()(TtgTtfH线性系统可综合表示为：上页0.5.2单位冲激响应令)()(tthHH)()(tth则dthftg)()()()()()(thtftg称为线性系统的单位冲激响应。)()(tthH根据)()()(ttftf)()(tftgHdtftg)()()(H即dtftg)()()(H得上页0.5.2单位冲激响应线性系统的输出，是输入信号与单位冲激响应的卷积。t00t)(t)(thH)(tf)()()(thtftgh(t)单位冲激响应线性系统的输出上页0.5.3卷积定理现对上式求傅氏变换：已知)()()(thtftgddtethfdtedthfthtftgtjtj])([)(])()([)]()([)]([得到deftgj)()]([)(H其中，jtjtjetdethdteth)()()()(H上页0.5.3卷积定理)()()()(HFthtf)()()(HFG即时域卷积定理)()()()(2121FFtftf一般地，若,)()(11Ftf)()(22Ftf卷积定理频域卷积定理)()(21)()(2121FFtftf上页0.5.4系统传递函数定义)()()()()(jeHFGH其中，—幅频特性；—相频特性)(H)(与构成变换对)(H)(thdtethHtj)()(deHthtj)(21)(上页0.5.5线性系统分析时域分析)()()(thtftg)()()(HFG)(th)(tf)(tg利用单位冲激响应修改输入信号的波形，以得到所期望的输出波形（时域线性滤波）。)(tf)(th频域分析利用系统传递函数，修正输入信号的频谱，以得到所期望的输出频谱（频域线性滤波）。)(H)(F)(F)(G)(H上页0.5.6二维线性非移变系统定义频域分析ddyxhfyxhyxfyxg),(),(),(),(),(时域分析),(),(),(vuHvuFvuG空域),(),(),(),(vuHvuFyxhyxf频域),(),(),(),(vuHvuFyxhyxf二维卷积定理),(),(),(111yxgkyxfkyxfkiniiiniiiniiHH上页0.5.6二维线性非移变系统上页本片结束例题（一维连续卷积）下页[例1]求图示两个矩形脉冲与的卷积。)(tf)(tg解：采用图解法。选为反折、平移函数。卷积结果为梯形函数：)(tga0t)(tf)(tg2/10tab1batbatababtaataattbaaatty)()()(,0,2/)(,,2/)(,0)(at)(ty0t)(gb2/10例题（一维连续卷积）返回图解法计算)()()(tgtftyaa10)(f0t)(gb02/1)(abt02/1aa)(tgatbtA移出范围)(tg)(f102/1atabt)(baaAa反折)()(gg)(g变量改换)()(gtg)()(ftf变量改换计算重迭波形面积卷积结果平移)()(tgg)(g例题（一维离散卷积）下页[例2]设两个一维离散序列分别为：},,,,{)(32103,2,1,0ffffxfx},,{)(2102,1,0gggxgx)()()(xgxfxy求卷积：再求在不同x和m时,f(m)与g(x-m)的乘积和。解根据定义，先求即)(mg)(mg)(xg},,{012ggg},,{210ggg例题（一维离散卷积）下页卷积结果(方程组)反折平移量x=0x=1x=2x=3x=4x=53210m000gfy235gfy01101gfgfy3210ffff0221202gfgfgfy0312213gfgfgfy13224gfgfy012ggg012ggg012ggg012ggg012ggg012ggg012ggg图解法求解例题（一维离散卷积）下页矩阵表示5432103210212012012010yyyyyyyffffggggggggggggx00求和变量m取值，由“不动”函数样点数决定，本例m=0～3。说明卷积y(t)的长度为：M=A+B-1(=6)。000000000012ggg0g12gg01gg2g012ggg012ggg012ggg3210ffff例题（一维离散卷积）下页(1)对f(x)和g(x)作周期延拓：补零、周期化、周期位移：取一个周期周期化g1g2g2补零对例题2的进一步讨论000000000000012ggg000周期位移g000001gg000012ggg000012ggg000012ggg000003210ffff00000000000000000000003210012012012012201120543210ffffggggggggggggggggggyyyyyy例题（一维离散卷积）返回(2)取其中一个完整的周期，得到卷积的矩阵形式：一般表示为：eeefTy其中：，由循环移位构成。Teyyyyyy],,,,,[543210yTeffff]0,0,,,,[3210feTTeggg]0,0,0,,,[210g叠加性和齐次性返回因此，对线性系统有：)()()(111tgktfktfkiniiiniiiniiHH[叠加性]若)()(11tgtf则)()(22tgtf)()()()(2121tgtgtftf线性系统[齐次性]若)()(tgtf则)()(tgktfk线性系统