补偿练6平面向量与解三角形

补偿练6平面向量与解三角形(建议用时：40分钟)1．在平面直角坐标系xOy中，点A(1,3)，B(－2，k)，若向量OA→⊥AB→，则实数k＝________.解析因为A(1,3)，B(－2，k)，所以AB→＝(－3，k－3)，因为OA→⊥AB→，所以－3＋3k－9＝0，解得k＝4.答案42．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，c＝(1，－2)，若向量λa＋b与c共线，则实数λ的值为________．解析由题知λa＋b＝(λ＋2,2λ)，又λa＋b与c共线，∴－2(λ＋2)－2λ＝0，∴λ＝－1.答案－13．若向量m＝(1,2)，n＝(x,1)满足m⊥n，则|n|＝________.解析∵m⊥n，∴m·n＝0，即x＋2＝0，∴x＝－2，∴|n|＝－22＋12＝5.答案54.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP→＋OQ→＝________.解析以F为坐标原点，FP，FG所在直线为x，y轴建系，假设一个方格长为单位长，则F(0,0)，O(3,2)，P(5,0)，Q(4,6)，则OP→＝(2，－2)，OQ→＝(1,4)，所以OP→＋OQ→＝(3,2)，而恰好FO→＝(3,2)，故OP→＋OQ→＝FO→.答案FO→5．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为________．解析S＝12×AB·ACsin60°＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝3.答案36.在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点，则AE→·AF→＝________.解析因为AE→＝AB→＋12AD→，AF→＝AD→＋12AB→，AD→·AB→＝0，所以AE→·AF→＝(AB→＋12AD→)·(AD→＋12AB→)＝12AB→2＋12AD→2＝1.答案17．在不等边△ABC(三边均不相等)中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有cosAcosB＝ba，则角C的大小为________．解析依题意得acosA＝bcosB，sinAcosA＝sinBcosB，sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，又△ABC是不等边三角形，因此A＋B＝π2，C＝π2.答案π28．已知直角坐标系内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使平面内的任意一个向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是________．解析由题意可知向量a与b为基底，所以不共线，m1≠2m－33，得m≠－3.答案(－∞，－3)∪(－3，＋∞)9．在边长为1的正三角形ABC中，BD→＝13BA→，E是CA的中点，则CD→·BE→等于________．解析建立如图所示的直角坐标系，则A－12，0，B12，0，C0，32，依题意设D(x1,0)，E(x2，y2)，∵BD→＝13BA→，∴x1－12，0＝13(－1,0)，∴x1＝16.∵E是CA的中点，∴x2＝－14，y2＝34.∴CD→·BE→＝16，－32·－34，34＝16×－34＋－32×34＝－12.答案－1210．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝14(b2＋c2－a2)，则角B等于________．解析由正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，即sin(B＋A)＝sinCsinC，因为sin(B＋A)＝sinC，所以sinC＝1，C＝90°，根据三角形面积公式和余弦定理得，S＝12bcsinA，b2＋c2－a2＝2bccosA，代入已知得12bcsinA＝14·2bccosA，所以tanA＝1，A＝45°，因此B＝45°.答案45°11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于________．解析由2S＝(a＋b)2－c2，得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，即2×12absinC＝a2＋b2＋2ab－c2，所以absinC－2ab＝a2＋b2－c2，又cosC＝a2＋b2－c22ab＝absinC－2ab2ab＝sinC2－1，所以cosC＋1＝sinC2，即2cos2C2＝sinC2cosC2，所以tanC2＝2，所以tanC＝2tanC21－tan2C2＝2×21－22＝－43.答案－4312．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3OA→＋4OB→＋5OC→＝0，则△AOC的面积为________．解析依题意得，(3OA→＋5OC→)2＝(－4OB→)2,9OA→2＋25OC→2＋30OA→·OC→＝16OB→2，即34＋30cos∠AOC＝16，cos∠AOC＝－35，sin∠AOC＝1－cos2∠AOC＝45，△AOC的面积为12|OA→||OC→|sin∠AOC＝25.答案2513．已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|ta－b|的最小值是________．解析∵a与b的夹角为60°，且b为单位向量，∴a·b＝|a|2，|ta－b|＝ta－b2＝|a|2t2－|a|t＋1＝|a|2t－12|a|2＋34≥32.答案3214．给出以下结论：①在三角形ABC中，若a＝5，b＝8，C＝60°，则BC→·CA→＝20；②已知正方形ABCD的边长为1，则|AB→＋BC→＋AC→|＝22；③已知AB→＝a＋5b，BC→＝－2a＋8b，CD→＝3(a－b)，则A，B，D三点共线．其中正确结论的序号为__________．解析对于①，BC→·CA→＝abcos(π－C)＝－abcosC＝－20；对于②，|AB→＋BC→＋AC→|＝|2AC→|＝2|AC→|＝22；对于③，因为AB→＝a＋5b，BD→＝BC→＋CD→＝a＋5b，所以AB→＝BD→，则A，B，D三点共线．综上可得，②③正确．答案②③