课件IIR数字滤波器的设计方法

IIR数字滤波器的设计方法1、基本概念2、最小与最大相位延时系统，最小与最大相位超前系统3、全通系统4、用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的映射方法：冲激响应不变法、双线性变换法5、实例：用巴特沃思或切比雪夫低通滤波设计低通、带通、高通、带阻等数字滤波器6.1基本概念数字滤波器是线性移不变离散时间系统1、数字滤波器设计内容：（1）根据要求确定滤波器的性能要求；（2）用因果稳定的离散线性移不变的系统函数逼近其性能要求（包括IIR和FIR系统函数）；（3）用算法实现该系统函数（包括选择运算结构、字长、有效数字的处理等）；（4）实际的技术实现（软件或硬件等）本课程主要讨论性能逼近或系统函数的设计。2、描述滤波器的基本参数见图6-2(1)谱带:在滤波器的幅值频谱中，有通带、阻带和过渡带之分通带：以带内的幅值大小来表示，幅值较大或接近最大值的带为通带阻带：幅值较小或接近最小值的带为阻带过渡带：在通带和阻带之间变化的带为过渡带(2)容限:在各带内的幅值可波动，但不能超过允许的限度。该容许的波动量或系数是容限可用容限和衰减系数表示通带和阻带的容限分别为a1、a2；通带和阻带的衰减系数用分贝表示1=-20lg(1-a1)，2=-20lg(a2)(1-a1)是通带的最小幅值，a2是阻带的最大幅值3、数字滤波器按频率特性分低通、高通、带通、带阻、全通等。其理想幅频响应[-,]或[0,2]图6.102|H|高通02|H|带通02|H|全通02|H|低通02|H|带阻4、频率换算关系采样频率为fs，数字滤波器设计中的各频率f换算为数字角频率=2f/fs根据奈奎斯特定理，滤波器的频率特性只能限于||≤s/2=也称为折叠频率5、数字滤波器的三个参量系统函数是H(z)，z平面单位圆上的频响是H(ej)频率特性参量：幅(度平方)频响应,相频特性,群延时响应(1)幅度平方响应(意义)单位冲击响应是实数,H(z)和H*(z)满足共轭对称条件,则若z是H(z)的极点,则1/z是H*(z)的极点,必存在;其零极点是共轭对称的，且以单位圆为镜像对称2*1()()()()()()()jjjjjjzeHeHeHeHeHeHzHz系统函数零极点的选取：为使H(z)是可实现的(收敛)系统，只取单位圆内的极点作为H(z)极点；而零点可在z平面的任意位置，故只取单位圆内的极点作为H(z)的极点。如果选z平面单位圆内的零点为H(z)H*(z)的零点，则得最小相位延迟滤波器。(2)相位响应(意义)因所以（6.5）又又有（6.6）)(Im)(Re)()()(jjejjjeHjeHeeHeHj)(Re)(Im)(jjjeHeHarctgejejjjeeHeH*jezjjjjjzHzHjeHeHjeHeHje1*ln21ln21ln21(3)群延迟响应波Acos(t=)中，波的位置和状态参量是相位，幅值表征能量；群延时是滤波器平均延迟的度量，为相位对角频率的导数的负值（6.7）化为（6.8）因所以dedejj)()(jjezezjdzzdjzddzdzzde)()()()(|)(|ln)(lnjjjejeHeH)(lnIm)(jjeHe又有（6.9）同样可化为（6.10）注意：当滤波器为线性相位响应特性(相位与频率成比例)时，则通带内群延迟特性为常数。)(lnIm)(jjeHddejjjjezezezezjzHdzzdHzzHdzdzdzzHdjzddzdzzHde)(1)(Re)(lnRe)(lnIm)(lnIm)(IIR滤波器设计中的逼近问题(任务)IIR系统函数(与FIR的区别)（6.11）IIR滤波器设计:求出滤波器各系数ak、bk，使其在规定频率上逼近所要求的(幅、相)特性。z平面上逼近就得数字滤波器，s平面上逼近就是模拟滤波器。NkkkMkkkzazbzH101)(数字滤波器的设计方法：（1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足指标要求的数字滤波器。(有现成的模拟滤波器及其公式，方便准确)（2）计算机辅助设计方法。IIR的设计计算较复杂，不考试；但须掌握设计过程和方法6.2最小或最大相位延时或超前系统(四种系统)任何线性时不变系统的系统函数为(cm,dK为复数)（6.12）系统频率响应（6.13）NkkMmmMNNkkMmmNkkkMmmmdzczKzzdzcKzazbzH11111100)()()1()1()()(arg11)()()()()(jeHjjNkkjMmmjMNjjeeHdeceKeeH对H(ej)/K进行研究：因h(n)是实数序列，K为实数，只产生固定相位，不影响相频谱的分布特性。H(ej)/K的模（6.14）其相位(三部分)（6.15）11|()|()|()|MjmjmNjkkecHeKed各零矢量模的连乘积各极矢量模的连乘积11()argargarg()jMMjjmkmmHeecedNMK若mi、mo、pi、po为单位圆内外的零、极点数，则M=mi+mo，N=pi+po说明零极矢量：零（极）矢是指零（极）点指向z平面单位圆上频率点的矢量。(ej=零极矢+cm或dk)零极点分布对相角的影响（对应四种特殊系统）(1)因果稳定系统的收敛域为单位圆内的一个圆的外部,故全部极点在单位圆内，pi=N，po=0从0到2时，仅单位圆内零极点对相角有2影响。故变化2时,D2，则辐角变化量增加时，辐角变化为负，称为相位延时系统。2()arg2[]2()222jiiioHempNMKmMmDD(a)当全部零点在单位圆内，mi=M，mo=0，有其相位变化最小，称为最小相位系统。(b)当全部零点在单位圆外，即mi=0，mo=M，有这时相位变化最大，又是负数，即最大相位延时系统，仍然是因果稳定系统。2()arg0jHeKDD2()arg2jHeMKDD(2)逆因果(超前)稳定系统，极点全在单位圆外pi=0，po=N当从0变到2时，D2，则辐角变化量一般NM，相位的变化是正数，称为相位超前系统。2()arg22()jiHemNMKDD(a)全部零点在单位圆内时，mi=M，mo=0，有这时相位变化最大，称最大相位超前系统(逆因果稳定系统)。(b)全部零点在单位圆外时，mi=0，mo=M，有=2(N-M)这时相位超前最小，称最小相位超前系统(逆因果稳定系统)。02()arg22jHeNpKDD02()arg2()joHepmKDD表6.1四种系统与其因果性、稳定性、零点、极点的关系。(略)最小相位系统很重要(通信和图象处理)，性质有(1)H(ej)相同的系统中，其负相位最大(相位最小)(2)最小相位系统能量集中在n=0附近。(3)|H(ej)|相同的各序列，最小相位序列的hmin(0)最大(脉冲信号的拖尾小，希望的)。(4)在幅度响应|H(ej)|相同的系统中，有唯一的最小相位延时系统。(5)级联全通系统，将最小相位系统的零点反射到单位圆外，可构成幅度响应相同的非最小相位延时系统6.3全通系统（1）定义：系统频率响应的幅度在所有频率均为1(或某较大数)的系统满足|Hap(ej)|=1的一阶全通系统为（6.16）式中a为实数零极点如图6.31||0,1)(11aazazzHapa1/a0-1Re(z)jIm(z)高阶全通系统：由多个一阶系统组成(包含实零点/实极点一阶系统、复零点/复极点对一阶系统)复零点/极点的全通节系统函数（6.17）a为复数零极点如图6.41||0,11*1aazaza1/a*0-1Re(z)jIm(z)1复零极点全通系统的特点:(1)零极点在共轭反演或以单位圆为镜的镜像位置(2)h(n)是实数，复零点或极点以共轭对出现，其共轭零极点也是系统的零极点，必存在两个一阶全通节(3)级联可组成二阶实系数全通子系统，其形式如下a1/a*0-1Re(z)jIm(z)11/aa*1||,11)(1111azaazazazzHapN阶全通系统的频率响应的模都为1。证明：N阶全通系统函数为(零极点及单位圆镜象对称决定)式中当z=ej时，满足D(ej)=D*(e-j)（6.21）故|H(ej)|=1（6.22）)()(```1```1)(1)1(111)1(111*111zDzDzzdzdzdzzdzddzaazzHNNNNNNNNNkkNkNNNNzdzdzdzD)1(111...1)(（2）全通系统的应用1)任何因果稳定的(非最小相位延时)系统的H(z)都可表示为全通系统Hap(z)和最小相位延时系统Hmin(z)的级联（6.23）这样，H(z)和Hmin(z)幅频响应相同，相频特性不同：（6.26）相位是两子系统的相位和arg[H(z)]=arg[Hmin(z)]+arg[Hap(z)]可用简单的最小相位延时系统表征原因果稳定系统(主要是幅频特性相同,相位特性不关心时用)min()()()apHzHzHz|)(||)(||)(||)(|minminjjapjjeHeHeHeH例证：因果稳定非最小相位延时系统（6.24）设1/z0和1/z0*是单位圆外的两零点，H1(z)零点在单位圆内，则（6.25）因|z0|1，故H1(z)(1-z*0z-1)(1-z0z-1)是最小相位延时(全部零极点在单位圆内)，而其余项是一阶全通级联。故6.23式成立。)()()()(*01011zzzzzHzH*1111*00100*110011**1100100*110011()()()()11()(1)(1)11zzzzHzHzzzzzzzzzzzzzHzzzzzzzzz说明:分解为全通和最小相位延时子系统的方法是：因果稳定系统的极点必在单位圆内，而零点分为单位圆内外两部分；单位圆内的零点(包括圆外点在圆内的镜像)为最小相位延时系统的零点，单位圆外的零点为全通系统的零点2)若滤波器是不稳定的，可级联全通函数使其为稳定系统：不稳定滤波器在单位圆外有极点，由原系统的单位圆外极点作为全通系统的零点构建；再与原滤波器级联，幅值谱不变(不影响幅频性)，级联后零极点抵消，系统稳定。例：原滤波器有单位圆外极点对z=r-1e±jq，|r|1级联全通系统则单位圆外极点抵消，幅度性不变，但系统稳定1111()11jjapjjzrezreHzrezrezqqqq3)作为相位均衡器(群延时均衡器):不改变幅频特性时，可得线性相位。(略)一般，IIR滤波器的相位是非线性的设全通滤波器为Hap(z)，原IIR系统为Hd(z)级联后，H(z)为其频谱为相位关系()()()apdHzHzHz()()()()()()()apdjjjjjjapdapdHeHeHeHeHee()()()apdy按定义-得在通带，用全通系统的群延时逼近原IIR系统群延时的非线性负值