线性代数公式大全

线性代数基本运算①ABBA+=+②()()CBACBA++=++③()cBcABAc+=+()dAcAAdc+=+④()()AcddAc=⑤00=⇔=ccA或0=A。()AATT=()TTTBABA±=±()()TTAccA=。()TTTABAB=()()()212112−==−nnCnnnτnnAaAaAaD2222222121+++=转置值不变AAT=逆值变AA11=−AccAn=γβαγβαγββα,,,,,,2121+=+()321,,ααα=A，3阶矩阵()321,,βββ=BBABA+≠+()332211,,βαβαβα+++=+BA332211,,βαβαβα+++=+BABABABA=∗=∗00()()1,=cjiE有关乘法的基本运算njinjijiijbababaC+++=2211线性性质()BABABAA2121+=+，()2121ABABBBA+=+()()()cBAABcBcA==结合律()()BCACAB=()TTTABAB=BAAB=lklkAAA+=()kllkAA=()kkkBAAB=不一定成立！AAE=，AEA=()kAkEA=，()kAAkE=EBAEAB=⇔=与数的乘法的不同之处()kkkBAAB=不一定成立！无交换律因式分解障碍是交换性一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如()()EAEAEAA+−=−−3322无消去律（矩阵和矩阵相乘）当0=AB时0=⇒/A或0=B由0≠A和00=⇒/=BAB由0≠A时CBACAB=⇒/=（无左消去律）特别的设A可逆，则A有消去律。左消去律：CBACAB=⇒=。右消去律：CBCABA=⇒=。如果A列满秩，则A有左消去律，即①00=⇒=BAB②CBACAB=⇒=可逆矩阵的性质i）当A可逆时，TA也可逆，且()()TTAA11−−=。kA也可逆，且()()kkAA11−−=。数0≠c，cA也可逆，()111−−=AccA。ii）A，B是两个n阶可逆矩阵AB⇔也可逆，且()111−−−=ABAB。推论：设A，B是两个n阶矩阵，则EBAEAB=⇔=命题：初等矩阵都可逆，且()()()jiEjiE,,1=−()()()=−ciEciE11()()()()()cjiEcjiE−=−,,1命题：准对角矩阵kkAAAA0000000000002211=可逆⇔每个iiA都可逆，记11221111000000000000−−−−=kkAAAA伴随矩阵的基本性质：EAAAAA==**当A可逆时，EAAA=*得AAA*1=−，（求逆矩阵的伴随矩阵法）且得：()()∗==−−11*AAAA()()==−−−−AAAAA1111*伴随矩阵的其他性质①1*−=nAA,1*−=AAA②()(),**TTAA=③()**1AccAn−=,④()*,**ABAB=⑤()()kkAA**=，⑥()AAAn2**−=。2=n时，()AA=**−−=dcbaA*关于矩阵右上肩记号：T，k，1−，*i)任何两个的次序可交换，如()()TTAA**=，()()**11−−=AA等ii)()()111,−−−==ABABABABTTT，()***ABAB=但()kkkABAB=不一定成立！线性表示sααα,,,021→siαααα,,,21→βααααααβ=+++⇔→sssxxx221121,,,有解()βααα=⇔xs,,,21有解()()Tsxxx,,1=β=Ax有解，即β可用A的列向量组表示()srrrCAB,,,21==，()nAααα,,,21=，则nsrrrααα,,,,,,2121→。stαααβββ,,,,,,2121→，则存在矩阵C，使得()()Cstαααβββ,,,,,,2121=线性表示关系有传递性当pstrrr,,,,,,,,,212121→→αααβββ，则ptrrr,,,,,,2121→βββ。等价关系：如果sααα,,,21与tβββ,,,21互相可表示tsβββααα,,,,,,2121←→记作tsβββααα,,,,,,2121≅。线性相关1=s，单个向量α，0=αxα相关0=⇔α2=s，21,αα相关⇔对应分量成比例21,αα相关nnbababa:::2211===⇔①向量个数s=维数n，则n1,,αα线性相（无）关()01≠=⇔nαα()nAααα,,,21=，0=Ax有非零解0=⇔A如果ns，则sααα,,,21一定相关0=Ax的方程个数n未知数个数s②如果sααα,,,21无关，则它的每一个部分组都无关③如果sααα,,,21无关，而βααα,,,,21s相关，则sαααβ,,,21→证明：设cccs,,,1不全为0，使得011=+++βααcccss则其中0≠c，否则scc,,1不全为0，011=++ssccαα，与条件sαα,,1无关矛盾。于是ssccccααβ−−−=11。④当sααβ,,1→时，表示方式唯一sαα1⇔无关（表示方式不唯一sαα1⇔相关）⑤若stααββ,,,,11→，并且st，则tββ,,1一定线性相关。证明：记()sAαα,,1=，()tBββ,,1=，则存在ts×矩阵C，使得ACB=。0=Cx有s个方程，t个未知数，ts，有非零解η，0=ηC。则0==ηηACB，即η也是0=Bx的非零解，从而tββ,,1线性相关。各性质的逆否形式①如果sααα,,,21无关，则ns≤。②如果sααα,,,21有相关的部分组，则它自己一定也相关。③如果sαα1无关，而sααβ,,1→/，则βααs,,1无关。⑤如果stααββ11→，tββ1无关，则st≤。推论：若两个无关向量组sαα1与tββ1等价，则ts=。极大无关组一个线性无关部分组()I，若()I#等于秩()I→6421,,,αααα，()I就一定是极大无关组①sααα,,,21无关⇔()ss=αααγ,,,21②()()sssααγβαααγαααβ,,,,,,,,,12121=⇔→另一种说法：取sααα,,,21的一个极大无关组()I()I也是βααα,,,,21s的极大无关组⇔()β,I相关。证明：()()ββααβ,,,1IIs⇔→⇔→相关。()()()→+→=sssssααβααγααβααγβααγ,,/,1,,,,,,,,11111③β可用sαα,,1唯一表示()()sss==⇔ααγβααγ,,,,,11④()()stsstααγββααγααββ,,,,,,,,,,,11111=⇔→()()stααγββγ,,,,11≤⇒⑤⇔≅tsββαα,,,,11()()()ttssββγββααγααγ,,,,,1111==矩阵的秩的简单性质(){}nmAr,min0≤≤()00=⇔=AArA行满秩：()mAr=A列满秩：()nAr=n阶矩阵A满秩：()nAr=A满秩A⇔的行（列）向量组线性无关0≠⇔AA⇔可逆0=⇔Ax只有零解，β=Ax唯一解。矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩①()()ArArT=②0≠c时，()()ArcAr=③()()()BrArBAr+≤±④()()(){}BrArABr,min≤⑤A可逆时，()()BrABr=弱化条件：如果A列满秩，则()()BABγγ=证：下面证0=ABx与0=Bx同解。η是0=ABx的解0=⇔ηABηη⇔=⇔0B是0=Bx的解B可逆时，()()ArABr=⑥若0=AB，则()()nBrAr≤+（A的列数，B的行数）⑦A列满秩时()()BrABr=B行满秩时()()ArABr=⑧()()()BrArnABr+≥+解的性质1．0=Ax的解的性质。如果eηηη,,,21是一组解，则它们的任意线性组合eecccηηη+++2211一定也是解。()00,2211=+++⇒=∀eeiicccAAηηηη2．()0≠=ββAx①如果eξξξ,,,21是β=Ax的一组解，则eecccξξξ+++2211也是β=Ax的解121=+++⇔eccceecccξξξ+++2211是0=Ax的解021=+++⇔eccciAi∀⋅=βξ()eeeeAcAcAccccAξξξξξξ+++=+++22112211()βeccc+++=21特别的：当21,ξξ是β=Ax的两个解时，21ξξ−是0=Ax的解②如果0ξ是β=Ax的解，则n维向量ξ也是β=Ax的解0ξξ−⇔是0=Ax的解。解的情况判别方程：β=Ax，即βααα=+++nnxxx2211有解nαααβ,,,21→⇔()()AAγβγ=⇔|()()nnαααγβαααγ,,,,,,,2121=⇔无解()()AAγβγ⇔|唯一解()()nAA==⇔γβγ|无穷多解()()nAA=⇔γβγ|方程个数m：()()mAmA≤≤γβγ,|①当()mA=γ时，()mA=βγ|，有解②当nm时，()nAγ，不会是唯一解对于齐次线性方程组0=Ax，只有零解()nA=⇔γ（即A列满秩）（有非零解()nA⇔γ）特征值特征向量λ是A的特征值λ⇔是A的特征多项式AxE−的根。两种特殊情形：（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。∗=321000**λλλA()()()321321000**λλλλλλ−−−=−∗−−−−−=−xxxxxxAxE（2）()1=Ar时：A的特征值为()Atr,0,,0,0特征值的性质命题：n阶矩阵A的特征值λ的重数()AErn−−≥λ命题：设A的特征值为n,,,21λλλ，则①An=21λλλ②()Atrn=+++21λλλ命题：设η是A的特征向量，特征值为λ，即ληη=A，则①对于A的每个多项式()Af，()()ηηxfAf=②当A可逆时，ηλη11=−A，ηλη||*AA=命题：设A的特征值为n,,,21λλλ，则①()Af的特征值为()()()nfff,,,21λλλ②A可逆时，1−A的特征值为n1,,1,121λλλ*A的特征值为nAAA21||,,||,||λλλ③TA的特征值也是n,,,21λλλ特征值的应用①求行列式nA,,,||21λλλ=②判别可逆性λ是A的特征值EAAE0λλ−⇔=−⇔不可逆EAλ−可逆λ⇔不是A的特征值。当()0=Af时，如果()0≠cf，则cEA−可逆若λ是A的特征值，则()λf是()Af的特征值()0=⇒λf。()ccf⇒≠0不是A的特征值AcE⇔可逆。n阶矩阵的相似关系当UAAU=时，AB=，而UAAU≠时，AB≠。相似关系有i）对称性：ABBA~~⇔BAUU=−1，则1−=UBUAii）有传递性：BA~，CB~，则CA~BAUU=−1，CBVV=−1，则()()CBVVAUVUVUVAUV===−−−−1111命题当BA~时，A和B有许多相同的性质①BA=②()()BAγγ=③A，B的特征多项式相同，从而特征值完全一致。A与B的特征向量的关系：η是A的属于λ的特征向量η1−⇔U是B的属于λ的特征向量。()()()ηληηληηληληη1111111−−−−−−−=⇔==⇔=UAUUUUAUUUBA正定二次型与正定矩阵性质与判别可逆线性变换替换保持正定性()nxxxf,,,21变为()nyyyg,,,21，则它们同时正定或同时不正定BA−~，则A，B同时正定，同时不正定。例如ACCBT=。如果A正定，则对每个0≠x()0==ACxCxACxCxBxxTTTT（C可逆，0≠x，0≠∴Cx！）我们给出关于正定的以下性质A正定EA−⇔~⇔存在实可逆矩阵C，CCAT=。A⇔的正惯性指数n=。A⇔的特征值全大于0。A⇔的每个顺序主子式全大于0。判断A正定的三种方法：①顺序主子式法。②特征值法。③定义法。基本概念对称矩阵AAT=。反对称矩阵AAT−=。简单阶梯形矩阵：台角位