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2019/12/16数学建模竞赛与案例分析广西大学2012.7.13谭永基复旦大学数学科学学院yjtan@fudan.edu.cn概要●数学建模的重要作用、两个实例●中美大学生建模竞赛的发展历程●近年竞赛试题综述●赛题案例分析2019/12/162011ICM电动汽车2011CUMCMA重金属污染2010CUMCMC输油管布置2011CUMCMC，D养老金问题，肠衣包装数学建模的重要作用实例一凯恩斯模型2019/12/16令Y表示国民收入，C表示总消费，I表示投资，E表示总支出，那么有0CccY其中为最低消费，它是由储蓄等支持的。c称为“边际消费”，反映了消费随收入增加而增加的倾向。另外总支出分为消费和投资两部分之和，即：0cECI由总收入等于总支出：01cIYcIcYcICY0解得:2019/12/16由于c越接近1，国民收入越大。这解释了扩大消费可以促进国民收入的增加，这种效应称为乘数效应。101,11cc设G为政府的支出（如投资基本建设等）则：ECIG此时可解得：00111cIcIGYYccc其中为国民收入增加1GYc数学建模的重要作用实例二万有引力定律•牛顿1665年发现平方反比定律•1686年在哈雷支持下正式发表在自然哲学的数学原理中•与胡克关于发明权的争论•平方反比律与开普勒天体运动三定律2019/12/16221rmmGF万有引力定律在人类认识宇宙中的作用•朴素的宇宙观如天圆地方说•亚里斯多德、托勒密完善地心说（天文学大成）•哥白尼提出日心说（更早阿里斯塔克）•伽利略用观察支持日心说•开普勒利用第谷的观察数据1609-1619提出天体运动三定律•牛顿平方反比律奠定天体运动理论基础•勒维埃和亚当斯发现海皇星2019/12/16•根据第一篇已从数学上证明的命题我们可以从天体现象中获得引力的学说,…,同时,从这些力出发,根据数学定理我们再推导出关于行星、彗星、月亮海洋的运动，我希望，自然界的其他现象可以用同样的方法由数学原理推导出来。（牛顿自然哲学的数学原理）•牛顿太幸运了，只有一个宇宙而牛顿已经发现了它的数学规律。（拉格朗日）•理性支配着万事万物则可以称得上关于世界本质的最有价值的观点（帕拉图菲多篇）2019/12/16亚里斯多德的宇宙模型2019/12/16哥白尼伽利略开普勒的行星模型数学建模的方法与步骤•现实问题清晰化—假设简化—找出关键量—根据支配规律建立关键量间数学关系—求解数学问题—检验与验证—应用于原现实问题•数学建模ABC(Gibbons)A—Assume,B—Borrow,C—Criticize.2019/12/162019/12/16TheArtofMathematicalModeling2019/12/16Physical/BiologicalPhenomenaHeuristicPhysical/BiologicalModel“Pure”MathematicsPhysical/BiologicalModelExact,Approximate,NumericalSolutionsQualitativeBehaviorApproximateMathematicalModelMathematicalModelExistenceUniquenessStabilityImplicitAssumptionsExplicitAssumptionsMechanismsPhysicochemicalLawsMathematical-Physical/BiologicalSimplificationsMathematical/NumericalMethodsAlternativeModelingApproachesGeneralized/ExtendedMathematicalModelAnalysisCOMPARISONVALIDATIONPREDICTION中美大学生建模竞赛的发展历程（美国）•Putnam竞赛的缺陷•Fusaro1985年发起数学建模竞赛(MCM)90队•1989年中国大学生首次参加（4/211）•1996年中国大学生首次获Outstanding奖•1999年开始ICM（跨学科数学建模竞赛）•2006年中国参赛队过半466/748，194/224•2010年中国参赛队2186/2610，84%•2011年中国参赛队3060/3509，87%2019/12/16中美大学生建模竞赛的发展历程（中国）•1990、1991上海率先组织竞赛张家界会议推向全国•1992年开始全国竞赛从314队到1万9千多队•1999年开始设立大专组•三次举办数学建模夏令营•致力于提高质量和国际化（10年港澳新、澳大利亚参加，和美国MCM合作，2011ICM终评阅卷）•二十周年庆典2019/12/16近10年竞赛试题综述（美国）•01A自行车车轮选择，B飓风交通疏散问题，C斑马贻贝的扩散与控制•02A风与喷水池控制，B航空公司机票超订问题，C灌木蜥蜴数量问题•03A特技演员保护纸箱问题，BGamma刀治疗方案，C机场安检（EDS，ETD）起飞时间安排方案•04A指纹识别问题，B快速通过系统的改进，C计算机系统安全问题•05A洪水灾害估计，B公路收费亭最佳数目设置，C不可再生资源的管理2019/12/16近10年竞赛试题综述（美国）•06A喷灌系统管理与移动问题，B机场轮椅使用问题，C抗击艾滋病的协调问题•07A不公正的选区划分，B飞机就座问题，C器官移植：肾交换问题•08A题：可能的严重后果（全球温度的上升而导致的北极冰盖的融化对陆地的影响）B题：创建数独智力游戏（研制构成不同难度的数独智力游戏的算法，C医疗保健服务(医保)系统评价•09A环岛交通管理，B能源和手机，C题:创建食物系统—重建受到人类影响的生态系统•10A棒球棒甜蜜点(最佳击球点)问题，B犯罪学(连环谋杀案搜索)问题，C大太平洋塑料垃圾带2019/12/162011年MCMICM•A，滑雪滑道设计•B，通讯频道问题•C，电动汽车前景问题（1）预测前景（2）省多少油（3）各种电站如何配置•第二轮阅卷63份选出5份OUTSTADING•2012ICM网络科学2019/12/162012赛题•树叶问题•野营规划•犯罪克星2019/12/16•01A三维血管重建，B公交调度，C基金使用计划，D公交调度•02A车灯光源优化设计，B彩票中的数学，C同A，D赛程安排•03ASARS传播，B露天煤矿车辆安排，C同A，D抢渡长江•04A奥运商业网点设计，B输电阻塞管理，C饮酒驾车，D公务员招聘•05A长江水质评价与预测，BDVD在线租赁，C雨量预报方法评价，D同B近10年竞赛试题综述（中国）•06A出版社资源配置，B爱滋病疗法评价，C易拉罐设计，D瓦斯煤尘检测控制•07A中国人口增长预测，B乘公交，看奥运，C手机“套餐”优惠几何，D体能测试时间安排•08A数码相机定位，B高等教育学费标准探讨，C地面搜索，DNBA赛程的分析与评价•09A制动器试验台的控制方法分析，B眼科病床的合理安排，C卫星和飞船的跟踪测控，D会议筹备•10A储油罐的变位识别与罐容表标定，B2010年上海世博会影响力的定量评估，C输油管的布置，D对学生宿舍设计方案的评价2011CUMCM•重金属污染•交巡警服务平台设置•养老保险问题•肠衣包装2019/12/16命题及阅卷文件产生过程2019/12/16确定命题负责人征题初筛选命题研讨会题目初选题目加工题目终选产生题目最终文本竞赛试阅卷产生阅卷要点正式阅卷命题原则•与实际紧密相关的新问题•数学建模在解决问题中起关键作用•难易适中•学生有创新空间•可以判别优劣2019/12/16全国阅卷过程定评分标准阅一等卷3人统计分析标准化大分差调整排序阅二等卷查违规挑候选优秀论文调整确定名次上网、面试定奖评阅印象（优点）•各题均出现有一定创新的答卷•建模能力增强：数据建模和机理建模结合•摘要有明显改进•利用现有文献能力增强•出现很多表达清晰的好论文存在问题•选题的盲目性•缺乏建模创新性：对文献过度依赖•计算和编程能力的不足•缺乏严肃的科学精神和学术态度赛题案例分析•2011ICM电动汽车•2011CUMCMA重金属污染•2010CUMCMC输油管布置•2011CUMCMC养老保险问题•2011CUMCMD肠衣包装2019/12/162011ICM电动汽车题目要求•建立电动车广泛应用对经济、环境、健康影响的数模，详细刻画政府和制造商决定是否和如何支持发展和应用电动汽车应考虑的关键因素，用什么数据验证模型。•用你的模型估计广泛使用电动汽车世界可节省多少石油•提供为适应你推荐的各种电动车数量所需各种发电站和各自发电量使环境、社会、商业、个人效益达到最大的数模2019/12/16要求（续）•写20页的报告阐明你的模型及你对有关电动车和发电站的关键事项的分析•注意要包括政府在保证安全、高效、充分交通中的重要作用。要讨论电动汽车的广泛应用是一种值得的目标和面对石油供应逐渐减少全球能源总政策的一个组成部分2019/12/16估计电动车数量的新技术模型2019/12/16竞争模型2019/12/16层次分析模型2019/12/16层次分析（健康)2019/12/16用高斯模型分析污染2019/12/162019/12/16不同电站配置(0.3044,0.2553,0.2555,0.1848)2019/12/16优化模型2019/12/16评阅过程•A题初选：Appalachian州立大学7人；分区评阅军事科学院5人；终评10人•B题初选：Carroll学院、国家安全局（NSA）人数不详；分区评阅海军研究生院8人；终评11人•C题初选：军事科学院30人其他1人；终评8人2019/12/16评阅过程•初评（triage)是否回答解决问题，重点看摘要，综述整篇文章，各节提供综述有帮助•甄别（screening)考察模型，清晰模型和坚实分析可得较高分，分析、结果和写作的一致性是重要的。•终评（final）目的挑选优秀论文，细节比较，最后若干篇每个评委都要看，讨论后遴选outstanding,finallist2019/12/162019-12-16ChrisArney对中国学生建议•利用竞赛机会充分发挥想象力和创造力•不要过分简化•注意离散和随机模型2019/12/162011CUMCMA城市表层土壤重金属污染分析随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。2011CUMCMA城市表层土壤重金属污染分析另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2)通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。(3)分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？问题（1）•用插值给出8种污染物的2维