西农大信号与系统第三章.

Signals&Systems第三章离散时间系统的时域分析Prof.YongFangCollegeofInformationEngineering,NAFU,ShaanxiYangling内容•3.1引言•3.2离散时间系统的差分方程•3.3LTI离散时间系统的零输入响应•3.4用抽样序列表示任意序列•3.5单位抽样响应•3.6LTI离散时间系统的零状态响应卷积和•3.7用单位抽样响应表示系统的性质•3.8反卷积及其应用3.1引言1.离散时间系统的图形描述连续时间系统—对x[n]进行预定的加工、处理、变换或传输，而成为另一离散函数y[n]的设备（软、硬件），装置的集合。x[n]y[n]已知差分方程求解系统h[n]x(t)y(t)系统h(t)3.1引言2.离散时间系统的数学模型（差分方程）对照：连续时间系统的数学模型（微分方程）00[][]NMkrkrynkxnrab3.1引言3.离散时间系统的分析方法时域分析法：●差分方程法●卷积和频域分析法：●频域分析法（FFT----第五章)●复频域分析法（Z变换----第八章）3.2离散时间系统的差分方程1.微分方程的差分方程近似利用计算机对微分方程进行数值解时，常需要把微分方程离散化：把一阶微分方程离散化，令x[n]=x[nT]——离散化——x(t)y[n]=y[nT]——离散化——y(t),T是抽样间隔，n=0,1,2…。()()(),0dytaytxtadt●一阶导数与一阶差分：即一阶差分：则，上面微分方程可化为0()()()lim[][][][1][]tdytytyttdttynTynTTTynynTynT()[][][1]dytynynyndtTT[][][]1[][1][]11ynaTynTynTynynxnaTaT或T[]yny[n-1]y[n][][][1]ynynyn●二阶导数与二阶差分：即二阶差分：2222222()()()[][][1][][1]([][1])([1][2])[]2[1][2][]tnTytddytddtdtdtynTTynynTTynynTynynynynTynynynTynT222222()[][][1][]2[1][2]ytynynynynynynddtTTT2[][][1][]2[][2]ynynynynynyn●三阶导数与二阶差分：三阶差分：●高阶后差分：注意：•抽样间隔T越小差分方程的解越接近微分方程的解；•前向差分：•通常差分方程的输出（解）不仅与现在的输入有关而且还跟过去的输出有关（初态影响）33332233()[][][1][]3[1]3[2][3]ytynddtTynynTynynynynT322[][][1][]3[1]3[2][3]ynynynynynynyn11[][][1]mmmynynyn[1][][]ynynyn2.实际问题的差分方程描述一些实际问题本身就具有离散性，因此，只能用差分方程表示。例：由雷达，计算机构成的飞机导航系统y[n–1]表示飞机(n–1)时刻的实际高度，x[n]表示飞机n时刻的计算高度。飞机第n秒上升的高度应与差(x[n]–y[n–1])成正比，即y[n]-y[n-1]=A(x[n]-y[n-1])或y[n]+(A-1)y[n-1]=Ax[n]x[n-1]、y[n-1]x[n]、y[n]t=n-1t=n[]yn3.差分方程的形式A.后向差分方程：①N阶递归差分方程：或②N阶非递归差分方程：●①式为有反馈系统。实际应用中常描述无限冲激响应滤波器（IIR滤波器）●②式为无反馈系统。实际应用中常描述有限冲激响应滤波器（FIR滤波器）00[][]NMkrkrynkxnrab1000[][][]NMkrkrabynynrxnraa00[][]Mkrbynxnra3.2离散时间系统的差分方程3.差分方程的形式B.前向差分方程注意：●差分方程各项序值如果同时加减同一个数，差分方程所描述的输入—输出关系不变，形式虽不一样其实质是一样的。●前向差分方程和后向差分方程可互相转化，通常用后向差分方程。例：把上式的n换成n+1可得00[][]NMkrkrynkxnrab[][1][][1][][1]ynaynxnynaynxn3.2离散时间系统的差分方程4.差分方程的初始条件（方程的唯一解）●后向差分方程的初始条件：y[-1],y[-2],…,y[-N]；(4.1-1)对于因果系统，n0，x[n]=0，则有n0,y[n]=0,——〉y[-1]=y[-2],…,y[-N]=0.(4.1-2)●前向差分方程的初始条件：y[N-1]，y[N-2]，…，y[0]；(4.1-3)对于因果系统，把(4.1-2)式的各序号都加N得：y[N-1]=y[N-2]=…=y[0]=0(4.2-4)3.2离散时间系统的差分方程5.差分方程的解法●递推法；●经典法；●零输入、零状态响应法。差分方程的解法A.递推法（迭代法）例y[n]-1/2y[n-1]=x[n]，y[-1]=C,x[n]=kδ[n]，求y[n]。解：y[0]=x[0]+1/2y[-1]=kδ[0]+1/2C=k+1/2Cy[1]=x[1]+1/2y[0]=k•0+1/2(k+1/2C)=(1/2)2C+1/2ky[2]=x[2]+1/2y[1]=k•0+1/2((1/2)2C+1/2k)=(1/2)3C+(1/2)2k……y[n]=(1/2)n+1C+(1/2)nkn≥0.●该法简便，易于计算机处理，但一般只能得到数值解。差分方程的解法B.经典法y[n]=yh[n]+yp[n]——全解先分别求出奇次解yh[n]和特解yp[n]，然后代入边界条件求出待定系数。●该法求解过程繁琐，现已很少采用。（略）差分方程的解法C.零输入、零状态响应法y[n]=y0[n]+yx[n]y0[n]——零输入响应yx[n]——零状态响应●用齐次解的方法求零输入响应y0[n]。●用卷积和的方法求零状态响应yx[n]。yx[n]=x[n]*h[n]3.3LTI离散时间系统的零输入响应1.齐次方程的解●齐次方程：a0y[n]+a1y[n-1]+…+aNy[n-N]=0y0[-1]，y0[-2]，…，y0[-N]。(3-1)零输入解的形式：令y0[n]=Cαn，并代入到齐次方程（3-1）中，a0y0[n]+a1α-1y0[n]+…+aNα-Ny0[n]=0，(y0[n-k]=Cα(n-k)=α-ky0[n])(a0+a1α-1+…+aNα-N)y0[n]=0a0+a1α-1+…+aNα-N=0或a0αN+a1αN-1+a2αN-2+…+aN=0——特征方程α是特征方程的根（1）若N个特征根互异，则零输入响应为y0[n]=C1α1n+C2α2n+…+CNαNn(3-2)由初始条件定出C1,C2,…,CN：y0[-1]=C1α1-1+C2α2-1+…+CNαN-1y0[-2]=C1α1-2+C2α2-2+…+CNαN-2……y0[-N]=C1α1-N+C2α2-N+…+CNαN-N111011222202121200[1][2][]NNNNNNNycycNcCYyα是范德蒙矩阵，是非奇异的，其逆矩阵为(3-3)111011020011112222121211112[1]222[2]12[]12NNNNNNNCYNycycNNycNNNN(2)若α是r重实根，则零输入响应为y0[n]=(C1nr–1+C2nr–2+…+Cr-1n+Cr)αn(3-4)(3)若a0，a1，…,aN都是实数，当方程有复根αi=|α|ejφ时，则必有共轭复根αi+1=|α|e-jφ。且有系数：Ci=|C|ejθ,和Ci+1=Ci*=|C|e-jθ,则零输入响应为：y0[n]=Ciαin+Ci+1αi+1n=|C||α|nej(nφ+θ)+|C||α|ne-j(nφ+θ)=2|C||α|ncos(nφ+θ)归纳如下表：特征根yh[n]、y0[n]单实根αiy0[n]=C1α1n+C2α2n+…+CNαNnr阶实根y0[n]=(C1nr-1+C2nr-2+…+Cr-1n+Cr)αn单共轭复根|α|e±jφy0[n]=2|C||α|ncos(nφ+θ)例1.已知y[n]–5y[n–1]+6y[n–2]=x[n]，y0[-1]=7/6，y0[-2]=23/36，求y0[n]=?解：特征方程：α2–5α+6=0，＝〉(α-2)(α-3)=0,得α1=2，α2=3，∴y0[n]=C12n+C23n由初始条件定常数Ci：y0[-1]=C12-1+C23-1=7/6y0[-2]=C12-2+C23-2=23/36得C1=3，C2=-1∴y0[n]=3(2)n–3n例2.已知y[n]+2y[n-1]+2y[n-2]=x[n]，y0[-1]=0，y0[-2]=1，求y0[n]=?解：特征方程：α2+2α+2=0,得:则441212,12jjjjee(4)(4)120(4)(4)120(2)(2)120(4)(4)120[]2[1]02[2]12222,2(1)(1)[]2cos()244njnjnnjjnjjjjnnyCeCeyCeCeyCeCeCeCejjnny2.初始条件有跃变时的零输入响应的求解当初始条件是由初始状态和输入同时引起时（初始条件有跃变，输入中有δ[n]信号），初始条件为y[k]=y0[k]+yx[k]，其中y0[k]是初始状态引起的初始条件，yx[k]是输入信号引起的初始条件①初始条件y[k]含有输入信号的影响，不能直接用来求零输入响应y0[n]，但可用来求经典法的完全响应。y[n]=yh[n]+yp[n]——全解.②零输入响应由初始条件y0[k]确定③y0[k]一般由初始条件y[k]来确定，要判断y[k]中间哪些与输入无关，它们就是y0[k]，通常的做法是取与输入无关的n值代入原差分方中来确定。④当y0[k]，yx[k]，y[k]中的k值不符合求解的要求时，可由系统差分方程通过递推来解决。0[][][]xykkkyy例3.已知2y[n]+12y[n-1]+24y[n-2]+16y[n-3]=x[n]，输入x[n]=2δ[n]，初始条件y[0]=1，y[-1]=-1，y[-2]=11/8，求y0[n]=?解：先确定y0[k]，令n=–1,则原差分方程为2y[-1]+12y[-2]+24y[-3]+16y[-4]=x[-1]=2δ[-1]=0可见y[-1]=y0[-1]，y[-2]=y0[-2]，y[-3]=y0[-3]，y[-4]=y0[-4]；把n=0代入原方程得2y[0]+12y[-1]+24y[-2]+16y[-3]=x[0]=2δ[0]=2，可见y[0]是输入引起的初始条件。且y0[-3]=y[-3]=(2-2y[0]–12y[-1]–24y[-2])/16=-21/16从而y0[k]为：y0[-1]，y0[-2]，y0[-3]。求方程的特征根：2α3+12α2+24α+16=0,α123=-2，零输入响应为y0[n]=C1(-2)n+C2n(-2)n+C3n2(-2)n由如下初始条件确定Ciy0[-1