贝塞尔曲线

贝塞尔曲线贝塞尔曲线（TheBézierCurves），是一种在计算机图形学中相当重要的参数曲线（2D，3D的称为曲面）。贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（PierreBézier）所发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。线性曲线给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：当参数t变化时，其过程如下：线性贝塞尔曲线函数中的t会经过由P0至P1的B（t）所描述的曲线。例如当t=0.25时，B（t）即一条由点P0至P1路径的四分之一处。就像由0至1的连续t，B（t）描述一条由P0至P1的直线。二次曲线二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B（t）追踪：为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点Q0和Q1作为由0至1的t：*由P0至P1的连续点Q0，描述一条线性贝塞尔曲线。*由P1至P2的连续点Q1，描述一条线性贝塞尔曲线。*由Q0至Q1的连续点B（t），描述一条二次贝塞尔曲线。二次曲线看起来就是这样的：三次曲线为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建构。P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。曲线的参数形式为：看起来就是这样的：高阶曲线更高阶的贝塞尔曲线，可以用以下公式表示：用表示由点P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。则有：更多的关于贝塞尔曲线的内容，你可以去查阅各种数学书。加油，求知的骚年。应用在几乎所有的高级图像软件中，均使用到了三次贝塞尔曲线来实现“平滑曲线”绘制功能。例如Photoshop中的“钢笔”，CoralDraw中的“贝塞尔工具”，Fireworks中的“画笔”。在编程中实现计算机绘图要“画”出贝塞尔曲线，一般需要进行较多的计算，然后绘制出来，类似这样：绘制的代码可以在各类计算机图形学书籍中找到。GDI+幸运的是，GDI+已经封装好了贝塞尔曲线的绘制代码，如果你想画出贝塞尔曲线，只用调用Graphics.DrawBezier方法：这是一个三次贝塞尔曲线，其中4个点分别为：起点，起点控制点，终点，终点控制点。绘制出来的效果如下：与鼠标的交互怎么实现Photoshop里那样可以调整的贝塞尔曲线呢？两种方法：*输入新参数生成曲线*用鼠标交互调整曲线很显然第二种看起来会拉风很多，那么就来试试看。你想要获得是这样的效果：这是一条三次贝塞尔曲线，图中应该这样解读：所以需要几个需要解决的：*表示贝塞尔曲线的锚点和控制点*绘制曲线和控制点/控制柄*鼠标交互设已知的四点为（x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),其中0和3是端点，1，2是控制点，则该曲线上的所有点表示为：x=(1-t)^3*x0+3*t*(1-t)^2*x1+3*t^2*(1-t)*x2+t^3*x3y=(1-t)^3*y0+3*t*(1-t)^2*y1+3*t^2*(1-t)*y2+t^3*y3其中0=t=1.