第9章弯曲(工程力学西南交大4学分)

SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲•西南交通大学力学与工程学院工程力学电子教案——SouthwestJiaotongUniversity主要内容1剪力和弯矩.剪力图和弯矩图2剪力图和弯矩图的进一步研究3弯曲正应力4惯性矩的平行移轴公式5弯曲切应力6梁的强度条件7挠度和转角SouthwestJiaotongUniversity主要内容8斜弯曲9弯曲应变能10超静定梁SouthwestJiaotongUniversity桥式吊车大梁引言SouthwestJiaotongUniversity石油反应塔引言SouthwestJiaotongUniversity火车车轴引言SouthwestJiaotongUniversity主要内容1剪力和弯矩.剪力图和弯矩图2剪力图和弯矩图的进一步研究3弯曲正应力4惯性矩的平行移轴公式5弯曲切应力6梁的强度条件7挠度和转角SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲§9.1剪力和弯矩•剪力图和弯矩图剪力和弯矩的概念直梁横截面上内力Fs与横截面左右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动(剪切)相对应，故称为剪力；梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对应，故称为弯矩。注：弯矩的矩心为横截面m-m的形心C。SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定。§9.1剪力和弯矩•剪力图和弯矩图剪力:使梁的微段发生“左上右下”的错动效果时为正。弯矩：使梁的微段发生“上凹下凸”的变形效果，即梁的上部纵向受压而下部纵向受拉时为正。SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数关系，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。剪力方程和弯矩方程•剪力图和弯矩图§9.1剪力和弯矩•剪力图和弯矩图规定：（1）剪力Fs的纵坐标取向上为正，正值的剪力画在x轴的上方；（2）弯矩M的纵坐标取向下为正，正值的弯矩画在梁的受拉侧，也就是画在x轴的下方。SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲如图所示一简支梁，试作其在自重条件下的剪力图和弯矩图。§9.1剪力和弯矩•剪力图和弯矩图SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲lxqxqlxxqxxFxMlxqxqlqxFxFAA0222022S解：（1）求支反力2qlFFBA（2）列剪力方程和弯矩方程（3）作剪力图和弯矩图§9.1剪力和弯矩•剪力图和弯矩图SouthwestJiaotongUniversity主要内容1剪力和弯矩.剪力图和弯矩图2剪力图和弯矩图的进一步研究3弯曲正应力4惯性矩的平行移轴公式5弯曲切应力6梁的强度条件7挠度和转角SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲图所示为直梁的载荷分布情况，集度q=q(x)。假想的从梁中截出长为dx的梁段，梁在图所示外力作用下平衡。由梁段的平衡方程)()(22xqdxxMd0)()()()(0dxxqxdFxFxFFsssy02)()()()()(0dxdxxqdxxFxMxdMxMMsC)()(xFdxxdMs)()(xqdxxdFs由上述两式又可得FS(x)dxM(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)q(x)M(x)CyAmnBxdxxq(x)§9.2剪力图和弯矩图的进一步研究SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲剪力图和弯矩图的规律§9.2剪力图和弯矩图的进一步研究（1）在梁上外力不连续处，梁的弯矩图应该分段表示。对于剪力图，除去集中力偶作用处外，也应分段表示。+或-剪力Fs或弯矩MdM/dx=Fs特别地，剪力为零时，弯矩图为平行于梁轴线的直线。（2）梁的某一区段无外力作用时：SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲§9.2剪力图和弯矩图的进一步研究（3）梁的某一区段作用一集中力F时：或弯矩MC处有尖角FCC处有突变F剪力Fs或（4）梁的某一区段作用一集中力偶Me时：弯矩MC处有突变MeCC处无变化Me剪力Fs紧靠C处的某一侧的截面为弯矩的极值点。剪力突变截面为弯矩的极值点。SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲§9.2剪力图和弯矩图的进一步研究（5）梁的某一区段作用均布载荷q时：q+或-剪力Fs或弯矩MdM/dx=Fs(x)dFs/dx=qq+或-剪力Fs或弯矩MdM/dx=Fs(x)dFs/dx=q弯矩图凸出的方向与均布载荷q的方向一致。Fs=0的截面处为弯矩的极值点。SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲下面的剪力图和弯矩图有无错误，请改正。qaa3aaqa2qaqq§9.2剪力图和弯矩图的进一步研究SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲19Qxqaqaqa++qaa3aaqa2qaqq参考答案：§9.2剪力图和弯矩图的进一步研究SouthwestJiaotongUniversity主要内容1剪力和弯矩.剪力图和弯矩图2剪力图和弯矩图的进一步研究3弯曲正应力4惯性矩的平行移轴公式5弯曲切应力6梁的强度条件7挠度和转角SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲•纯弯曲——梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。•横力弯曲——梁的横截面上既有弯矩又有剪力，相应地，横截面既有正应力又有切应力。§9.3弯曲正应力几个概念SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲平面假设——梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕截面的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。§9.3弯曲正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力纵向线(aa、bb)：变为弧线，凹侧缩短，凸侧伸长。横向线(mm、nn):仍保持为直线，发生了相对转动，仍与弧线垂直。单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲§9.3弯曲正应力设想梁由平行于轴线的众多纵向纤维组成，由底部纤维的伸长连续地逐渐变为顶部纤维的缩短，中间必定有一层纤维的长度不变。中性层：中间既不伸长也不缩短的一层纤维。中性轴：中性层与梁的横截面的交线，垂直于梁的纵向对称面。（横截面绕中性轴转动）中性轴垂直于纵向对称面。SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲§9.3弯曲正应力•几何变形关系设横截面的对称轴为y轴，向下为正，中性轴为z轴(位置未定)。表明线应变ε与它到中性层的距离y成正比。yyddddybbddOOOOxbbSouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲§9.3弯曲正应力•物理关系因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。当应力小于比例极限时，由胡克定律知表明横截面上任意一点的正应力σ与该点到中性轴的距离y成正比。yE在中性轴上：y＝0，σ＝0。SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲§9.3弯曲正应力•静力学平衡纵向：0dNAAF0ddAAAyEA0dAAyEd0zAyASz轴（中性轴）通过截面形心。梁的轴线在中性层内，其长度不变。SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲§9.3弯曲正应力•静力学平衡合力矩：2ddAAEyyAAM2dAEyAMdzAMyAMzEIM1yEzIMyIz为截面对中性轴的惯性矩；M为截面弯矩y为点到中性轴的距离SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲中性轴z为横截面的对称轴时zIMymaxmax称为弯曲截面系数maxyIMzzWMyzzybh§9.3弯曲正应力轴惯性矩和弯曲截面系数SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲中性轴z不是横截面的对称轴时zIMymax,tmaxt,zIMymaxc,maxc,Ozyyt，maxyc，max§9.3弯曲正应力SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲§9.3弯曲正应力§9.3弯曲正应力简单截面的惯性矩和弯曲截面系数⑴矩形截面123bhIz62/2bhhIWzz123hbIy62/2hbbIWyy⑵圆形截面64π4dIIyz32π2/2/3ddIdIWWyzyzzybhyzdSouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲§9.3弯曲正应力⑶空心圆截面4444164π64πDdDIIyzDd/yzzWDDIW43132π2/(4)型钢截面：参见型钢表式中DOdyzSouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面由于切应力的存在而发生翘曲(warping)。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压(bearing)。但对于长梁，其在误差范围之内，工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，即zzWxMIyxM)(,)(max§9.3弯曲正应力纯弯曲理论的推广SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲对于图示T形截面梁,求横截面上的最大拉应力和最大压应力。已知，Iz=290.6×10-8m4yz806520208035单位:mm3AB13kN3kNC2xM2.5kN·m3kN·m§9.3弯曲正应力SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲-843kN.m35mm36.1MPa290.610mBzMyI上解：-842.5kN.m65mm56.0MPa290.610mCzMyI下C截面上：-843kN.m65mm67.1MPa290.610mBzMyI下B截面上：36.1MPa67.1MPaB截面上：,max,max56.0MPa,67.1MPa.tc30.2MPa56.0MPaC截面上：§9.3弯曲正应力-842.5kN.m35mm30.2MPa290.610mCzMyI上SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲若上题中的梁截面为工字形，则横截面的最大拉应力与最大压应力是否一定在弯矩绝对值最大的横截面上？yz§9.3弯曲正应力因为截面对称性，故最大拉应力与最大压应力在弯矩绝对值最大的横截面上。参考答案：SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲若全梁横截面上弯矩均为正值（或均为负值），如果中性轴不是横截面的对称轴，则整个梁上横截面的最大拉应力与最大压应力是否一定在弯矩最大的横截面上？§9.3弯曲正应力因为全梁截面上的弯矩正负一致，最大拉应力或最大压应力在截面的同一侧，故最大值在弯矩绝对值最大的横截面上。参考答案：SouthwestJiaotongUniversity第9章弯曲上半部分小结（1）剪力弯矩的关系)()(22xqdxxMd)()(xFdxxdMs)()(xqdxxdFszIMy项目变化规律中性轴位置正应力公式变化规律依据平面假设单向应力状态下的胡克定律E0dNAAFMAyMAzd结果通过截面形心yyE（2）等直梁纯弯曲正应力的计算SouthwestJiaotongUniversity主要内容1剪力和弯矩.剪力图和弯矩图2剪力图和弯矩图的进一步研究3弯曲正应力4惯性矩的平行