数列常见题型总结经典

1高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1．前n项和法（知nS求na）11nnnSSSa)2()1(nn例1、已知数列}{na的前n项和212nnSn，求数列|}{|na的前n项和nT变式：已知数列}{na的前n项和nnSn122，求数列|}{|na的前n项和nT练习：1、若数列}{na的前n项和nnS2，求该数列的通项公式。答案：122nna)2()1(nn2、若数列}{na的前n项和323nnaS，求该数列的通项公式。答案：nna323、设数列}{na的前n项和为nS，数列}{nS的前n项和为nT，满足22nSTnn，求数列}{na的通项公式。4.nS为{na}的前n项和，nS=3（na－1），求na（n∈N+）5、设数列na满足2*12333()3nnaaaanNn-1…+3，求数列na的通项公式（作差法）2.形如)(1nfaann型（累加法）（1）若f(n)为常数,即：daann1,此时数列为等差数列，则na=dna)1(1.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.例1.已知数列｛an｝满足)2(3,1111naaannn,证明213nna例2.已知数列na的首项为1，且*12()nnaannN写出数列na的通项公式.例3.已知数列}{na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式.3.形如)(1nfaann型（累乘法）（1）当f(n)为常数，即：qaann1（其中q是不为0的常数），此数列为等比且na=11nqa.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例1、在数列}{na中111,1nnannaa)2(n，求数列的通项公式。答案：12nan练习：1、在数列}{na中1111,1nnannaa)2(n，求nnSa与。答案：)1(2nnan2、求数列)2(1232,111nannaann的通项公式。4.形如srapaannn11型（取倒数法）例1.已知数列na中，21a，)2(1211naaannn，求通项公式na2练习：1、若数列}{na中，11a,131nnnaaa,求通项公式na.答案：231nan2、若数列}{na中，11a，112nnnnaaaa，求通项公式na.答案：121nan5．形如0(,1cdcaann,其中aa1)型（构造新的等比数列）（1）若c=1时，数列{na}为等差数列;（2）若d=0时，数列{na}为等比数列;（3）若01且dc时，数列{na}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设)(1AacAann,利用待定系数法求出A例1．已知数列}{na中，,2121,211nnaaa求通项na.练习：1、若数列}{na中，21a,121nnaa,求通项公式na。答案：121nna2、若数列}{na中，11a,1321nnaa,求通项公式na。答案：1)32(23nna6.形如)(1nfpaann型（构造新的等比数列）(1)若bknnf)(一次函数(k,b是常数，且0k)，则后面待定系数法也用一次函数。例题.在数列{}na中，231a，3621naann,求通项na.解：原递推式可化为bnkabknann)1()(21比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为12nnbb所以nb是一个等比数列，首项299611nab,公比为21.1)21(29nnb即：nnna)21(996，故96)21(9nann.练习：1、已知数列na中，31a，2431naann，求通项公式na(2)若nqnf)((其中q是常数，且n0,1)①若p=1时，即：nnnqaa1，累加即可②若1p时，即：nnnqapa1，后面的待定系数法也用指数形式。两边同除以1nq.即：qqaqpqannnn111,令nnnqab,则可化为qbqpbnn11.然后转化为类型5来解，例1.在数列{}na中，521a，且)(3211Nnaannn．求通项公式na1、已知数列na中，211a，nnnaa)21(21，求通项公式na。答案：121nnna2、已知数列na中，11a，nnnaa2331，求通项公式na。答案：nnna23371题型二根据数列的性质求解（整体思想）1、已知nS为等差数列na的前n项和，1006a，则11S；2、设nS、nT分别是等差数列na、na的前n项和，327nnTSnn，则55ba.33、设nS是等差数列na的前n项和，若5935,95SSaa则（）5、在正项等比数列na中，153537225aaaaaa，则35aa_______。6、已知nS为等比数列na前n项和，54nS，602nS，则nS3.7、在等差数列na中，若4,184SS，则20191817aaaa的值为（）8、在等比数列中，已知910(0)aaaa，1920aab，则99100aa.题型三：证明数列是等差或等比数列A)证明数列等差例1、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=21.求证：{nS1}是等差数列；B）证明数列等比例1、已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN⑴证明：数列1nnaa是等比数列；⑵求数列na的通项公式；题型四：求数列的前n项和基本方法：A）公式法，B）分组求和法1、求数列n{223}n的前n项和nS.2.)12()1(7531nSnn3.若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝()A．15B．12C．－12D．－154.求数列1，2+21，3+41，4+81，…，121nn5.已知数列{an}是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}的通项公式并求其前n项和Sn.C）裂项相消法，数列的常见拆项有：1111()()nnkknnk；nnnn111；例1、求和：S=1+n32113211211例2、求和：nn11341231121.D）倒序相加法，例、设221)(xxxf，求：).2010()2009()2()()()()(21312009120101fffffffE）错位相减法，1、若数列na的通项nnna3)12(，求此数列的前n项和nS.2.21123(0)nnSxxnxx（将分为1x和1x两种情况考虑）4题型五：数列单调性最值问题例1、数列na中，492nan，当数列na的前n项和nS取得最小值时，n.例2、已知nS为等差数列na的前n项和，.16,2541aa当n为何值时，nS取得最大值；例3、设数列na的前n项和为nS．已知1aa，13nnnaS，*nN．（Ⅰ）设3nnnbS，求数列nb的通项公式；（Ⅱ）若1nnaa≥，*nN，求a的取值范围．题型六：总结规律题1．已知数列na满足),2(525*11Nnnaaannn，且na前2014项的和为403，则数列1nnaa的前2014项的和为？2．数列{an}满足an+1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为？常见练习1．方程2640xx的两根的等比中项是（）A．3B．2C．6D．22、已知等比数列na的前三项依次为1a，1a，4a，则naA．342nB．243nC．1342nD．1243n3．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为（）A．12B．14C．16D．184．{an}是等差数列，10110,0SS，则使0na的最小的n值是（）A．5B．6C．7D．85.若数列22331,2cos,2cos,2cos,,前100项之和为0，则的值为（）A.()3kkZB.2()3kkZC.22()3kkZD.以上的答案均不对6.设2a=3,2b=6,2c=12,则数列a,b,c成A.等差B.等比C.非等差也非等比D.既等差也等比7．如果等差数列na中，34512aaa，那么127...aaa()（A）14（B）21（C）28（D）358.设数列{}na的前n项和3Snn，则4a的值为()（A）15(B)37(C)27（D）649.设等比数列{}na的公比2q，前n项和为nS，则42Sa（）5A．2B．4C．215D．21710.设nS为等比数列na的前n项和，已知3432Sa，2332Sa，则公比q（）（A）3（B）4（C）5（D）611．已知}{na是等比数列，22a，514a，则12231nnaaaaaa（）A．32(12)3nB．16(14)nC．16(12)nD．32(14)3n12.若数列na的通项公式是(1)(32)nnan，则1220aaa()（A）30（B）29（C）-30（D）-2913.已知等比数列{}na满足0,1,2,nan，且25252(3)nnaan，则当1n时，2123221logloglognaaa（）A.(21)nnB.2(1)nC.2nD.2(1)n14．巳知函数()cos,(0,2)fxxx有两个不同的零点12,xx,且方程()fxm有两个不同的实根34,xx.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为()A．B．C．D．15．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－15，则实数t的值为()．A．4B．5C.45D.1516．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4+a7+a10=9，S14﹣S3=77，则使Sn取得最小值时n的值为（）A．4B．5C．6D．717．若{an}是等差数列，首项a10，公差d0，且a2013(a2012＋a2013)0，则使数列{an}的前n项和Sn0成立的最大自然数n是()A．4027B．4026C．4025D．402418．已知数列满足：a1＝1，an＋1＝anan＋2，(n∈N*)，若bn＋1＝(n－λ)1an＋1，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为()A．λ2B．λ3C．λ2D．λ319、由正数构成的等比数列{an}，若132423249aaaaaa，则23aa．20．已知数列na的前n项和为2,nSn某三角形三边之比为234::aaa，则该三角形最大角为．21、给定(1)log(2)nnan（n∈N*），定义乘积12kaaa为整数的k（k∈N*）叫做“理想数”，则区间[1，2008]6内的所有理想数的和为．22．设1,ad为实数，首项为1a，公差为d的等差数列na的前项和为nS，满足34150SS，则d的取值范围为．23．设正整数数列na满足：24a，且对于任何*nN，有11111122111nnnnaaaann，则10a24.已知na为等比数列,472aa,568aa,则110aa________.25.设等