西南交通大学2015有限元(第二部分)

第2章平面问题的有限元方法2.1弹性理论基础Ⅰ、基本假设：•连续性－物质连续。相应的应力应变，位移等连续变量可以用坐标的连续函数表示；•均质各向同性——物体内部各点，各方向上物理性质相同，材料常数（弹性模量，泊松比）不随坐标方向而变；•完全弹性——材料服从Hooke定律；•小变形（几何假设）——略去二阶小量，所有微分方程为线性的；•无初应力——加载前物体内无初应力。Ⅱ、基本方程A、平衡方程：(2.1)对于平面问题：(2.2)B、几何方程：(2.3)00YyxXyxyyxxyx0,ijijXijjiijiiiixuxuxu对于平面问题：(2.4)(2.5)xvyuyvxuxyyxvuxyyxzyx00C：物理方程（应力－应变关系）：(2.6)为弹性矩阵——由弹性模量和泊松比构成，为常数矩阵。平面问题一般分为两类：⑴：平面应力状态仅在平面内存在应力分量，即注意：(2.7)DD0zxzyz0z2100010112ED⑵：平面应变状态仅在平面内存在应变分量，即注意：(2.8)xyyxxyyx0z1221000110112111ED0zxyzz实际上，只需对（2.7）式中的、作如下变换，即能得到（2.8）式。D、边界条件：力的边界条件（）：(2.9)为边界外法线的方向余弦位移边界条件（）：E21EE1SuSjniiuuijijTnⅢ、能量原理应变能：虚功原理：变形体中满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零。体系外力的虚功与内力的虚功相等。虚位移原理：如果弹性体处于平衡状态，当发生约束所允许的任意微小虚位移时，外力在虚位移上所作的功等于弹性体内的应力在相应虚应变上所作的功。dUD21ddu设弹性体在体积力，表面力作用下处于平衡，体内引起相应的位移，应力和应变。假定弹性体内有某约束条件所允许的虚位移，相应有虚应变，则虚位移原理可表述为：(2.10)平面问题：设板厚t为常量，即则，（2.11）以后证明：上式为平衡方程和力边界条件的等效积分提法fqXfttdz0tdxdytdsqftdxdyXfTTTddAqfdXfTTT虚应力原理：几何方程和位移边界条件的等效积分提法应力、约束反力为虚拟量，而位移为确定量。注意：虚位移或虚应力原理中，均未涉及物理方程。也就是说，线弹性，非线弹性，弹塑性问题均适用；但是，平衡方程、几何方程都是在小变形条件下建立的，因此，二原理不能直接应用于大变形问题。更多的原理将在后续章节中阐述。2.2分析流程Ⅰ对于任一平面问题，分析步骤的第一步是对结构离散化。考虑图示一平板（平面应力或平面应变不限）弹性理论求解时，取无限小微元体作为出发点，建立平板的力平衡、几何变形的微分方程形式，为一无限自由度问题。而具体求解时可采用半逆解法，引入一多项式应力函数，定其系数，解出应力，积分得到位移，最后结果为一全域连续的分布函数。当采用有限元方法求解时，第一步是将平板离散成有限个小单元。A：梁结构的离散：取一段梁为一单元单元类型：简单直线段离散原则：几何上真实模拟原结构及其变形平板的离散：取一小面积板为一单元单元类型：由最基本的平面图形构成三角形、四边形（如正方形、长方形、梯形）而五边形、圆、扇形不宜作为单元。离散原则：几何上真实模拟原结构（无缺陷、重叠）模拟变形状态B：节点的选择梁单元：取端点为节点，单元内任一点的几何位置可由节点坐标确定，单元内任一点的变形同样能由节点的变形确定。对二节点梁单元，单元内任一点的坐标、变形可由节点的坐标、变形的线性函数插值确定。平面单元：取角点为节点，单元内任一点的几何位置、变形可由节点的坐标几变形插值确定。三角形单元节点：三个角点？矩形单元的节点：四个角点？C：节点位移梁单元中节点的位移分量对应直梁、平面梁、空间梁分别有1位移+1转动、2位移+1转动、3位移+3转动分量；平面单元的节点只有2位移：为什么？相应地，节点载荷：D：离散结果图示平板可分离成18个三角形单元、16个节点（32个位移分量）。无限自由度转换成32个自由度！iiivuiiiYXQ•计算结果：仅16个节点的位移数值；可以将节点的位移拟合成一条曲线；当单元趋小，节点增多，拟合曲线才逐渐逼近真解。•与弹性理论解的形式差别：不直观；结果比较：不能直接反映各物理量，几何量的影响。问题：平板的单元离散和节点位移描述都是在加载变形前实施的，各单元之间仅靠节点相连，那么加载后，能否保证单元的边界不开裂、不重叠？2.3三角形单元考虑图示任一三角形单元e，取角点为节点，节点编号为L、m、n(右手旋向!)，每一节点仅二个独立位移分量。单元的6个节点位移分量可按节点排序为：TnnmmlleVUVUVU梁单元：参照材料力学结果，设定位移在单元内的变化规律，再以节点位移取代待定系数，形成了由节点位移描述的位移插值函数。平面单元：单元内任意点的变形也是坐标的函数。当单元较小时，同样用节点位移的插值函数来描述单元内的位移。一般有Lagrange、Hermite样条插值（有精度、适用范围要求）。考虑到简化微分、积分运算，多取插值函数为幂函数形式。Ⅰ、选取位移模式•三角形平面单元内的变形在x、y方向都是均等的，位移函数应具有相同的变化规律，即多项式函数具有相同的项，但系数可不相同！•单元3个节点，仅6个节点位移分量，同时描述两个位移函数，只能假定u和v均为线性多项式，即（2.12）单元内的变形可由节点位移的插值----线性函数描述。•这里，选取最低阶的线性多项式形式，是否可以取其它形式，只要保证系数由节点位移分量取代就可以了？),(),,(yxVyxUyaxaayxVyaxaayxU654321),(),(将（2.12）改写为矩阵形式，（2.13）简记，（2.14）65432110000001),(),(aaaaaayxyxyxvyxuayxHvu),(aHvuⅡ、单元节点位移与之关系简记为（2.15）eea654321100000011000000110000001aaaaaayxyxyxyxyxyxvuvuvunnnnmmmmllllnnmmllaAe考察，只要三角形的三个角点不在一条直线上，任一条边长度不显著小于其它二条边的长度，则非奇异矩阵，其逆矩阵存在。代入(2.14)，(2.16)其中(2.17)AAeAa1eAHvu1eNvu1AHN(2.16)式即表示了单元内任意位置的位移由单元节点位移的插值函数来确定。称为形函数矩阵，它代表和反映了位移函数与节点位移之关系，代表了单元自身的几何特性。形函数的合理性将直接影响到单元特性、求解精度、收敛性等。NⅢ、形函数的特性由（2.17）可以得到：(2.18)式中：(对其它项，轮换)为三角形单元的面积引入：(2.19)nmlnmlNNNNNNN0000002ycxbaNllllnml,,nnmmllyxyxyx111则：仅当右手系排序，能保证三角形面积恒为正值！中的分别对应第一行各元素对应的代数余子式，•分别对应第二行各元素对应的代数余子式；•第三行nml,,lNlllcba,,nnmmlyxyxanmlyyb11nmlxxc11mmmcba,,nnncba,,21特性分析：⑴、将(2.18)代入(2.16)，对于单元内任一点的位移u或v，都可以同样坐标、节点位移作线性插值，形状函数均一致。⑵、时，•代表了单元内部的位移分布函数；或者：节点的单位位移对单元位移的贡献。•在节点，；在节点，•形函数可分解为各节点的形函数，并相互独立。iinnmmlluNuNuNuNyxU),(iinnmmllvNvNvNvNyxV),(0,1nmluuulNyxU,ll1lN0lNnm,⑶、三个形函数之和为1，只有2个独立。（2.20）⑷、在单元任一边上的形函数与第3个节点的坐标无关。1nmlNNNⅣ、连续性要求任一结构发生变形时，结构内部的位移是一连续函数；当以有限单元离散后，位移模式应保证单元内、公共边界上的连续性。（物理现象：无缺陷、不重叠）–形函数在单元内连续，则单元内的位移也连续？！–相邻单元交界线上，两单元应有相同的位移？两相连的三角形单元公共边界为直线段；变形前，边界由二公共节点唯一确定；变形，二节点的位移确定了边界的位移；变形后，边界仍由二公共节点唯一确定！（设位移函数时，只取线性多项式的缘故之一）Ⅴ、单元的应变应力将位移函数（2.16）式直接代入平面问题的几何方程（2.5）式，可得到应变：简写为：(2.21)ezyxNxyyxvuxyyx0000eB式中，（2.22）记为，则,应变矩阵的物理意义：当单元某一节点有单位位移而其它节点位移皆为零时，所引起单元内部的应变分布，亦是该点单位位移对单元应变的贡献。nnmmllnmlnmlbcbcbccccbbbB00000021nmlBBBBnnmmllBBBB由于为线性函数，经微分运算后，实际上为一常数矩阵，因此，为常值；意指单元内部应变均匀；本三角形单元即为一种常应变单元。将(2.21)式代入(2.6)式，得到应力表达式，(2.23a)(2.23b)为应力矩阵。也可分块写成：NBeBDessnnmmllsss的物理意义：单元内某一节点有单位位移，而其余节点位移皆为零时，所对应单元内部的应力分布；亦为该节点单位位移对单元内应力的贡献。对于平面应力问题：siiiiiiibccbcbEs2121122),,(nmli讨论：•本三角形单元为常应变单元（亦即常应力单元）。对应力变化梯度大的区域，采用这种单元模拟时，单元之间的应力应变是跳跃的；仅当单元足够小，才能缓解单元间应力的突变，而趋于真解。•已讨论证明了位移函数在单元之间是连续分布的，但其应变应力在单元间有突变，即：只保证了函数连续，而未保证其导数连续。物体内的实际应力场应该连续分布的。•这种单元简单、可靠，可以通过控制单元尺寸、疏密程度的方式，再辅以对单元节点应力作合理修正，仍能取得满意的近似结果。Ⅵ、单元刚度矩阵建立力–-位移之关系？如何将单元内的变形、应力、应变与外部荷载（节点力、面力、体力等）相联系？引入虚功原理（外力等