西南石油大学研究生经典课件流体力学(陈小榆老师).

主讲教师：陈小榆联系电话：8303352113540322010电子邮箱：[e-mail]高等流体力学附录一向量和张量的基本运算一、标量、向量与张量流体力学中处理的各种物理量，以其维数划分为：第一节向量和张量的基本概念标量——一维的量，用一个数量及单位表示。例如：Τ、ρ。向量——三维的量，必须由某一空间坐标系的3个坐标轴方向的分量来表示。例如：r、v。张量——二阶张量是一个九维的量，必须有9个分量才能完整表示。标量——0阶张量，有30=1个分量；向量——1阶张量，有31=3个分量；n阶张量由3n个分量组成。场的概念：同研究流体运动的欧拉方法相联系。附录一向量和张量的基本运算二、场（field）第一节向量和张量的基本概念标量场，例：Τ、ρ；向量场，例：r、v；张量场，例：应力场P、应变场E。场场的定义：场的分类：如果对应于某一几何空间或某一部分几何空间中的每一点，都对应着物理量的一个确定的值，就称这个空间上或这个部分空间上确定了该物理量的一个场。如果这个物理量是标量，则称为这个场为标量场；如果这个物理量是向量，则称这个场为向量场。1、爱因斯坦（Einstein）求和符号数学式子任意一项中如果出现一对符号相同的指标，称为爱因斯坦求和符号，它是哑指标，表示求和。例如：1,,1230,ijijijijijee、、1122331211122332(123)()3iiiijjaaaaikabkkabababkeeeeaee、、附录一向量和张量的基本运算第二节向量的基本运算一、向量运算的符号规定2、克罗内克尔δ符号（KroneckerDelta）任意两个正交单位向量点积用δij表示，称为克罗内克尔符号。ijjiiijjikkjijaaaaδ的性质任意两个正交单位向量的叉积可表示为：附录一向量和张量的基本运算第二节向量的基本运算一、向量运算的符号规定3、置换符号ijijkkeeee01ijke-1ijk、、（中有2个或3个自由指标值相同）ijk、、（中按12312顺序任取三个排列，偶次置换）ijk、、（中按13213顺序任取三个排列，奇次置换）12323131213221332111eeeeee，，其余分量为零。附录一向量和张量的基本运算第二节向量的基本运算二、向量运算的常用公式1231231231()234()()()iiiiiiiiijjijijijijiiiijjijijijijkkiijjkkijkijkijkijkllijkjkiijkijkabaebeabeabaebeabeeababeeeabaebeabeeabeeaaabbbabcaebeceabceeeabceeeabceabce、、、、1231231235()()()()6()()-()aaabbbcccabcabccabcababcacbabc、、1034()56ddtddddtdtdtddkkkdtdtdduduuuuutdtdtdtddddtdtdtddddtdtdtCCABABAAAAABAABABBAABAB、（为常数）2、（）=、（）=（为常数）、（）=（为数性函数）、（）=、（）=附录一向量和张量的基本运算第二节向量的基本运算三、微分运算按向量的定义：iiiiaaaee,,123iiiijjjaalmnjeea式中和分别为在两个不同的正交坐标系中的分量和坐标轴单位向量。各单位向量间的夹角的余铉（即方向余铉）为、、（、、）如下表所示。123112321233123lllmmmnnneeeeee11112123131122332121222323212223()(1,2,3)()(1,2,3)()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiaaaiaaaiaaaalalalaaaaalamanaeeeeeeeeeeeeeeeeeeee则对应的向量分量的坐标变换关系有：例如：附录一向量和张量的基本运算第二节向量的基本运算四、向量分量的坐标变换附录一向量和张量的基本运算第三节二阶张量的基本运算(,1,2,3)iijjijijijijacacbijBaceeeeee力学中最常用的张量是二阶张量。二阶张量是两个向量的并积，可表示为：二阶张量，是用三个矢量表示的量，可表示为：121122333iiijijijijbbbBbebebebebeeeeb123ijijbeeeee式中，是二阶张量在单位轴向量为、、的正交坐标系中的分量，共有九个；是二阶张量的基，其分量也是九个。注意：！ijjieeee2、张量相加减ijijABAB()ijijijABABee（）同阶ijijmnmnABAB则附录一向量和张量的基本运算第三节二阶张量的基本运算一、基本运算1、张量相等：若两个张量在某一正交坐标系中相等，则它们在任一个正交坐标系中也相等。即，ijijBAABA二阶张量乘以数，，则3、张量数乘(2)()()()()iimnnimnimniinnmmnmnimniinmimimininiinniinniaBaBaBBaBaaBaBBBBBaBeeeeeBaeeeeeeaBBaaBBa二阶张量和向量的点积如果则如果则B称为对称张量。,ijijmnmnABAeeBee附录一向量和张量的基本运算第三节二阶张量的基本运算一、基本运算4、二阶张量的点积与双点积定义点积“•”为：(1)()()ijijmnnijmnjminijjninmABABABABeeeeeeee（3）二阶张量的双点积的两种形式():()ijijmnmijmnimjnijijnijijmnijmnjminijjimnABABABABABAeeBeeABABeeee并联式:串联式（）（）()()()(,1,2,3)()()()(,1,2,3)ijiijijjijiijjijiijijjijiijjbbbijbbbijeeeeeeeeeeeeeeee附录一向量和张量的基本运算第三节二阶张量的基本运算一、基本运算4、二阶张量的点积与双点积二阶张量分量的坐标变换：按张量的定义，，则有：ijijijijbbBeeee附录二正交曲线坐标第一节正交曲线坐标系、正交性、拉梅系数一、正交曲线坐标系、正交性MMMxyzrrijk确定空间点的位置可以用来表示：12311123221233312312,,,,(,,),,(,,),,(,,),,,qqqqqxyzxxqqqqqxyzyyqqqqqxyzzzqqqMxyzqq也可以用三个独立变量来表示，只要两者之间存在一一对应的关系：（）（）和（）则给定一个空间点（），就有一组完全确定的3123123123123,,,,,,,,,qqqqqCqCqCqqqMqCqCqC值与之对应。反之亦然。这样，就构成了一个坐标系。如果相互正交，那么，这个坐标系就称作正交坐标系。就称作点的三个正交曲线坐标值。这样用三族正交曲面来表示空间位置的参考系就称为正交曲线坐标系。00,()ijijijijijxxyyzzijqqqqqqee正交曲线的正交性表现为，（），正交性可以写成附录二正交曲线坐标第一节正交曲线坐标系、正交性、拉梅系数一、正交曲线坐标系、正交性10dqe沿坐标线的切线方向（）的单位向量又称为坐标轴的单位向量，iiiiiiidqqqdqqqrrerr123123222222111111122,,,,()()()qqqdsdsdsdsdxdydzxyzdsdqdqqqqqdsdqrr1、微元弧长微元正交六面体沿坐标轴的微元弧长分别用表示222222222223333333()()()()()()xyzqdqqqqxyzdsdqdqqqqqr附录二正交曲线坐标第一节正交曲线坐标系、正交性、拉梅系数二、正交曲线坐标系中的微元弧长、微元面积、微元体积、拉梅系数222111122222222223333111222333()()()()()()()()()xyzhqqqxyzhqqqxyzhqqqdshdqdshdqdshdq令则附录二正交曲线坐标第一节正交曲线坐标系、正交性、拉梅系数二、正交曲线坐标系中的微元弧长、微元面积、微元体积、拉梅系数1、微元弧长1234hhh、拉梅系数，，称为正交曲线坐标系中的拉梅系数。附录二正交曲线坐标第一节正交曲线坐标系、正交性、拉梅系数二、正交曲线坐标系中的微元弧长、微元面积、微元体积、拉梅系数123232321313133121212iqConstdAdsdshhdqdqdAdsdshhdqdqdAdsdshhdqdq2、微元面积利用沿坐标轴的微元弧长很容易确定坐标面上的微元面积1231231233ddsdsdshhhdqdqdq、微元体积例：求柱坐标系和球坐标系的拉梅系数。12322222222222,,cos,sin,()()()cossin1()()()sincorrrrqrqqzxryrzzxyzhqqqxyzhrrqqq解：对柱坐标系而言，柱坐标系和直角坐标系的变换关系为：由此可求拉梅系数，2222s()()()1zzzzrxyzhqqq附录二正交曲线坐标第一节正交曲线坐标系、正交性、拉梅系数12322222222,,sincos,sinsin,cos()()()sincossinsincos1(RRRRRqRqqxRyRzRxyzhqqqxhq对球坐标系，（，，）和直角坐标系的变换关系为，则，2222222222222222222)()()(coscoscossin)sin()()()sinsinsincossinyzqqRRRxyzhqqqRRR附录二正交曲线坐标第一节正交曲线坐标系、正交性、拉梅系数1213230()0()000sincossinsiniiiiijiiiijdqqqijdqqqijqqqqqqqqxiyjzkRiRjrreeerrrrrrrrrrr证明：因，正交必须满足,即，即必须同时满足，，在球面坐标系中，cossincossinsincosRkijkRr例：证明柱面坐标系和球面坐标系都是正交曲面坐标系。附录二正交曲线坐标第一节正交曲线坐标系、正交性、拉梅系数22(sincossinsincos)(coscoscossinsin)sincoscossincossinsincosRijkRiRjRkRRRrr又由于000Rrrrr同理，，所以，球面坐标系是正交的。附录二正交曲线坐标第一节正交曲线坐标系、正交性、拉梅系数coscoscossinsinsinsinsincos0RiRjRkRiRjk