西南科技大学模糊数学第二章模糊模式识别修第六节

12.6确定隶属函数的方法综述模糊集是客观世界数量与质量的统一体，人们刻画模糊集是通过模糊集的特有的性质，即隶属度来表现的。隶属度是人们认识客观事物所赋予的该元素隶属于该集合的程度，带有主观经验的色彩。现在的问题是如何使得主、客观尽可能地一致，并且在实践中不断修改，使得主观不断接近客观。由于模糊现象的多样性与复杂性，现在还没有统一的、固定的方法来确定模糊集的隶属度。2下面仅介绍一些较常应用的方法。1.边界法模糊集是没有明确的边界的。在论域中的元素的隶属度一般而言也是渐变的。但是客观事物有质变，人们对客观事物的主观反映也相应地有质变，这种质变就是隶属度取边界值0和1。3例如前例中，25岁以下的人属于“青年”的隶属度为1，50岁以下的人属于“老年”的隶属度为0，另外，由常识可知，一般50岁以上的人不属于“青年”，80岁以上的人基本上都属于“老年”，所以我们要寻求一个函数，使其能满足以上的极端条件。这样，我们就确定了其相应的隶属度。例如在年龄的例中，我们可以求得：O(80)=0.97，Y(50)=0.038。42.6.1模糊统计法1.直接统计法对一群人进行调查，每个人对模糊集中的每个元素进行综合打分，若此元素完全属于该模糊集，则为100分。每个人打分后取其平均分。(有时还去掉一个最高分，去掉一个最低分后再平均)，这个平均分就是隶属度。例如，有10个评委对某歌5唱比赛进行评审，有许多人参加比赛，模糊集是“优秀歌手”，对其中某人xi进行打分，打分的结果是99、96、97、92、94、90、98、96、97、95，去掉最高分99和最低分90，然后平均于是求得该歌手隶属于“优秀歌手”的程度是0.956。6.9595979698949297968162.隶属频率统计法我们可以仿照确定随机事件概率的方法来确定隶属度。在经典概率统计中，若对事件A的发生与否作n次试验，统计事件A发生的频率(＝A发生的次数/试验次数n)，我们发现这个频率随n的增大而趋于一个稳定值，我们就把这一稳定频率，取为事件A发生的概率。类似的，我们也可以对模糊事件作统计试验。7先确定一个论域（如0－150岁），然后对论域中的模糊集（如“年青人”）作清晰化的范围估计(实际上就是对模糊集A作一次相对应的经典集的“显影”：A*)。对于论域中的具体的点x0而言，它可以在某个范围估计中，也可以不在其中。每一次范围估计可以看成一次模糊统计试验，于是我们便可以计算x0隶属于模糊集A的频率如下：x0隶属于A的频率＝x0A*的次数/n。8随着n的增大，隶属频率呈现稳定性，隶属频率的稳定值可取为x0对A的隶属度。例取年龄作论域X，通过模糊试验确定x0=27(岁)对模糊集“青年人”A的隶属度。张南伦曾对129名学生进行了调查试验，要求每个被调查者按自己的理解确定“年青人”(即A)的年龄范围(即A*)，每一次确定的范围都是一次试验，共进行了129次试验，其结果见表(2-1)。根据918-2517-3617-2818-2515-3514-2518-3018-3518-3516-2515-3018-3517-3018-2510-2518-3520-3018-3016-3020-3518-3018-3015-2518-3015-2516-2816-3018-3016-3018-3518-2518-2516-2818-3016-3016-2818-3518-3517-2716-2815-2816-3019-2815-3015-2617-2515-3618-3017-3018-3516-3518-3012-2515-2518-3016-2415-2516-3215-2718-3516-2515-2515-2518-2816-3015-2818-3518-3017-2818-3516-3018-2816-2818-3018-3518-3018-3017-3018-3018-3518-2818-3517-2515-3018-2517-3014-2518-2618-2818-3515-3018-3018-2516-3517-2918-2517-3016-2818-3016-2818-2815-3518-3020-3020-3016-2517-3015-3018-3016-3015-2518-3516-3015-3018-3518-3518-3017-3018-3517-3015-2818-3515-3015-2515-3018-3017-2518-2918-28年轻人年龄统计表(2.1)10此表统计的隶属频率见表2.2。表2.227岁对模糊集“年青人”的隶属频率由表2.2可见，隶属频率随试验次数n的增加而呈现稳定性，稳定值为0.78，故有[青年人](27)=0.78。n10203040506070隶属次数6142331394753隶属频率0.600.700.770.780.780.780.76n8090100110120129隶属次数6268768595101隶属频率0.780.760.760.750.790.78113、F分布法利用现有的一些函数，通过参照比较，选择最能代表所论模糊集的函数作为隶属函数。常用的一些函数有下列数种类型。(法国学者A.Kanfmann(1975年)归纳整理为三类十八种).12(1)偏大型(S型)：这种类型的隶属函数随x的增大而增大，随所选函数的形式不同又分为：1）升半矩形分布（图2.7）2）升半分布（图2.8）3）升半正态分布（图2.9）4）升半柯西分布（图2.10）5）升半梯形分布（图2.11）6）升岭形分布（图2.12）13(2)偏小型(Z型)：这种类型的隶属函数随x的增大而减小，随所选函数的形式又可分为：1）降半矩形分布（图2.13）2）降半分布（图2.14）3）降半正态分布（图2.15）4）降半柯西分布（图2.16）5）降半梯形分布（图2.17）6）降岭形分布（图2.18）14(3)中间型(型)：这种类型的隶属函数在(－，a)上为偏大型，在(a，+)为偏小型，所以称为中间型，随所选函数的形式又可分为:1）矩形分布（图2.19）2）尖分布（图2.20）3）正态分布（图2.21）4）柯西分布（图2.22）5）梯形分布（图2.23）6）岭形分布（图2.24）15(1)偏大型（S型）：这种类型的隶属函数随x的增大而增大，随所选函数的形式不同又分为：1）升半矩形分布（图2.7）.,1,,0)(axaxxA10axA(x)162）升半分布（图2.8）.,1,,0)()(axeaxxAaxk10axA(x)a+1/k图2.8173）升半正态分布（图2.9）10axA(x)图2.90.,1,,0)(2)(kaxeaxxAaxk184）升半柯西分布（图2.10）0,0.,])(1[,,0)(1axaxaxxA10axA(x)图2.10195）升半梯形分布（图2.11）.1,,,0)(221121xaaxaaaaxaxxA10a1xA(x)a2图2.11206）升岭形分布（图2.12）.,1),2(sin2121,,0)(2212112xaaxaaaxaaaxxA10a1xA(x)a2图2.12(a1+a2)/221(2)偏小型(Z型)：这种类型的隶属函数随x的增大而减小，又可分为：1）降半矩形分布（图2.13）.,0,,1axaxxA01axA(x)图2.13降半矩形分布222）降半分布（图2.14）.0,,,,1kaxeaxxAaxk其中01aa+1/kxA(x)图2.14降半分布233）降半正态分布（图2.15）.0,,,,12kaxeaxxAaxk其中01axA(x)图2.15降半正态分布244）降半柯西分布（图2.16）.0,0,,1,,11其中axaxaxxAA(x)01ax图2.16降半柯西分布255）降半梯形分布（图2.17）.,0,,,,12211221xaaxaaaxaaxxAA(x)01a1xa2266）降岭形分布（图2.18）.,0,,)2(sin2121,,122112121xaaxaaaxaaaxxA01/21a12aa21a2xA(x)27(3)中间型（型）：这种类型的隶属函数在(－，a)上为偏大型，在(a,+)为偏小型，所以称为中间型，又可分为:1）矩形分布（图2.19）.,0,,1,,0xbabaxbabaxxA01A(x)a-baa+bx282）尖分布（图2.20）0,,,,kaxeaxexAaxkaxk其中01A(x)a-1/kaa+1/kx293）正态分布（图2.21）.0,2kexAaxk其中0ax1A(x)304）柯西分布（图2.22）为正偶数。其中,0,11xxA0ax1A(x)315）梯形分布（图2.23）,,0,,,,1,,,,022112211121222xaaaaxaaaaaxaaaxaaaaxaaaaaxaaaxxA01A(x)a-a1aa+a2xa-a2a+a1326）岭形分布（图2.24）,,0,,)2(sin2121,,1,,)2(sin2121,,02211212111212122xaaaxaaaxaaaxaaxaaaxaaaxxA01A(x)a1a2-a1-a2x33在实际应用中，通常是将上述三种方法结合起来使用的。例如“年老”的模糊集O的隶属度就参照了“偏大型”的“升半柯西分布”，并在其中令a＝50，＝1/25，=2，而“年青”的模糊集Y的隶属度参照了“偏小型”的“降半柯西分布”，并在其中令a＝25，＝25，=2。34.,0,,1,,1,,0)(axaxaaxaxaaxaxxA三角模糊集a-a+a1xA(x)353.F关系与聚类分析3.1F关系的定义和性质“关系”是一个普遍使用的，又是很重要的概念。例如父子关系、兄弟关系、朋友关系、大小关系、从属关系、买卖关系、供求关系、合作关系等等，他表示了事务之间的某种联系。在数学上，关系有严格的定义。36定义1:设U、V为两个非空集合，UV为U与V的笛氏积，即UV={(u,v)|uU，vV}。若有RUV（即RP(UV))，则称R为U到V的二元关系，简称关系。对于任何一个(u,v)UV，若(u,v)R，则称u与v具有关系R，记作uRv；若(u,v)R，则称u与v不具有关系R，记作uRv。若U=V，R是从U到V的关系，则可称R是U上的关系。￣37例1:设X、Y是实数集，R是X上的“大于”关系，即xRyxy或R={(x，y)︱x，y为实数，且xy}，亦即R是坐标平面上直线y=x下方（不含直线上的点）那部分平面的点集（图1）38图1关系xyxy0R39从U到V的关系R是论域UV的经典子集。所以经典集的并、交、补运算及其性质，以及经典集的特征函数表示法，对R当然适用。40若U与V之间有一规则R，使得uU，按规则R唯一地与vV对应，则R决定了从U到V的映射R:UVu|R(u)=v，(u,v)R由此可见，映射中的规则R，就是U到V的关系R。41例2:设有四个学生甲、乙、丙、丁，用优、良、差来衡量他们的学习成绩。若作出两个集合X={甲，乙，丙，丁}，Y={优，良，差}，再作其直积（笛氏积）UV={(甲，优)，(甲，良)，(甲，差)，