西南财经大学概率综合测试题1

概率与数理统计综合一1/6综合测试题一一、填空题：（请将正确答案直接填在横线上。每小题2分，共10分）1．设()0.5(|)0.7()PAPBAPAB，，则0.85。2．一批零件的次品率为0.2,连取三次,每次一件(有放回),则三次中恰有两次取到次品的概率为0.096。3.设随机变量X服从泊松分布,且P｛X=1｝=P｛X=2｝,则DX=2。4．设随机变量X分布密度函数为()Xpx，Y=g(X)是X的单调函数，其反函数为g－1(y)可导，则Y的分布密度函数11()[()][()]'yxpypgygy5．设12,,,nXXX是正态总体X服从2,N的一个容量为n的样本，则样本均值X服从2,Nn分布，样本函数22(1)ns服从2(1)n分布。二、单项选择题:（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内。每小题3分，共30分）1．设A、B为随机事件，则()()ABABAAB(A)。(A)A(B)B(C)AB(D)φ2．设A、B为两随机事件，且BA，则下列式子正确的是(B)。(A)PABPB(B)PABPB(C)|PBAPB(D)PBAPBPA3．下列函数为随机变量密度的是(A)。(A)sin0()20xxpx，，其他(B)3sin0()20xxpx，，其他(C)sin0()0xxpx，，其他(D)sin02()0xxpx，，其他4．设X为服从正态分布N(―1,2)的随机变量，其概率密度函数,则E(2X－1)=(D)。(A)9(B)6(C)4(D)―35．我们说随机事件A在n次独立重复试验中发生的频率Ann趋向于概率P(A)是指(C)。(A)lim()AnnPAn(B)lim()1AnnPPAn概率与数理统计综合一2/6(C)0lim()1AnnPPAn对任意有(D),()AnnPAn很大时6．设随机向量（X,Y）满足E(XY)=EX·EY，则(D)。(A)X、Y相互独立(B)X、Y不独立(C)X、Y相关(D)X、Y不相关7．设12,,,nXXX是n个相互独立同分布的随机变量，,4(1,2,,)iiEXuDXin，则对于11,3niiXXPXun有，有(C)。(A)49n(B)49(C)419n(D)598．下列函数为正态分布密度的是(B)。(A)2212xxe(B)2(21)2xe(C)2()212xe(D)21412xe9．设X1,X2来自总体X，则下列统计量为总体期望EX的无偏估计的是(C)。(A)X1－X2(B)X1+X2(C)2X1－X2(D)2X1+X210．设12,,,nXXX为总体X的样本，期望μ、方差σ2未知，X、S2分别为样本均值和样本方差，则下列样本函数为统计量的是(A)。(A)211()niiXXn(B)11niiXn(C)22(1)ns(D)/XSn三、计算题：(每小题6分,共36分)1．设某玻璃制品第一次落地时被打破的概率为0.1，第二次落地时被打破的概率为0.4，第三落地时被打破的概率为0.9，求该制品在三次落地过程中被打破的概率。解：设A表示“三次落地中被打破”，Bi表示“第i次落地打破”(i=1,2,3)则112123ABBBBBB()0.10.90.40.90.60.90.946PA即玻璃制品在三次落地过程中被打破的概率为0.946。概率与数理统计综合一3/62．设某产品的合格率为80%。检验员在检验时合格品被认为合格的概率为97%，次品被认为合格的概率为2%。（1）求任取一产品被检验员检验合格的概率；（2）若一产品通过了检验，求该产品确为合格品的概率。解：(1)设A表示“产品检验合格”B表示“产品合格”则由全概率公式有()()(|)()(|)0.80.970.20.020.78PAPBPABPBPAB即任一产品被检验员检验合格的概率为0.78；(2)根据题意由贝叶斯公式有()(|)0.80.97(|)0.99()0.78PBPABPBAPA即若一产品通过了检验，则该产品确为合格品的概率为0.99。3.若盒中有5个球，其中2个白球3个黑球,现从中任意取3个球，设随机变量X为取得白球的个数。求：（1）随机变量X的分布；(2)数学期望EX,方差DX。解：(1)设随机变量X表示白球的个数,则X的取值为0,1,2由题意得032335122335212335101061103210CCPXCCCPXCCCPXC即随机变量X的分布为X012()PXk110610310(2)由数学期望与方差的定义有概率与数理统计综合一4/6222216360121010105()16369012()101010525EXDXEXEX4．抽样表明某市新生儿体重X(单位：公斤)近似地服正态分布N(3,4),求新生儿体重超过4公斤的概率。（Φ(0.5=0.6915)解：由题意知新生儿体重X近似地服正态分布N(3,4),则314141221(0.5)10.69150.3085XPXPXP新生儿体重超过4公斤的概率为0.3085。5.设随机变量(X,Y)的联合分布密度为(),0,0(,)0,xyexypxy其他,求：(1)随机变量(X,Y)的边缘分布密度；(2)X与Y是否相互独立?为什么?解：(1)随机变量(X,Y)的边缘分布密度为()()0()0()0,0,0(,)0,()(,)(0),0()0,()(,)xyxyxxyxxxxyyexypxypxpxydyedyeexexpxpypxydxedx其他即其他()0(0),0()0,xyyyyeeyeypy即其他(2)(),0,0(,)()()0,xyxyexypxypxpy其他∴X与Y是相互独立。概率与数理统计综合一5/66．设某医院门诊部医生检查一个病人的时间X（小时）服从参数λ=10的指数分布，若检查每个病人所用时间相互独立。（1）求X的概率密度及检查一个病人时间超过1小时的概率；（2）利用中心极限定理，以95%的概率求一个医生一天（8小时）最多所能检查的病人数n。(Φ(1.64)=0.95)解：（1）由题意知医生检查一个病人的时间X服从参数λ=10的指数分布,则101010101110,0()0,0110|xxxexpxxPXedxee1(2)(,)101008/108()0.95108/101.64108.1666NiiiiXNTTXNNNTNNPTNNNNN设第个病人检查时间为，个病人检查的时间为，则很大，近似服从由查表得解得，四、应用题：(每小题8分,共16分)1．设总体X的概率密度为112(,)(,0),,,,nxxxXXX为总体X的一个样本。求参数θ的极大似然估计量。解：112111(),lnln(1)lnlnln0ˆlnnnniiniiniiLxxxLnxdLnxdnx似然函数取对数得似然方程解得的极大似然估计为：2．设某产品的日销售量X服从2,N，且μ=10件。为扩大销售，现采用了某种促销手段，7天销售的样本平均值为x11.14，样本标准差为s=2.23；假设促销前后方差不变，试以α=0.05的显著性水平检验日销售量是否有明显的提高？（t0.05(6)=1.94）解：概率与数理统计综合一6/601001101010(6)/7,(6)1.9411.14101.351.942.23/7,,HHXTTtSnnttHH：：方差未知，用检验。由查表得临界值样本观测值为故接受拒绝即日销售量没有明显提高。五、证明题：（8分）设随机变量X的数学期望存在，证明随机变量X与任一常数b的协方差是零。证明：由协方差的定义及数学期望的性质，得covXbEXEXbEb，EXEXbb0