数字信号处理之因果性稳定性关系

第二章第1讲1线性时不变系统稳定性因果性收敛区域Z变换23因果系统（causalsystem)：输出只取决于nn0时刻的输入因果非因果例：nxnxnxnynxnxnxnynynxnxnxny2211112111121稳定系统（stablesystem)：如果输入有界，则输出有界yxBnyBnxxxkKkKBMBMknxMknxMny1111010例：4()()LTIhnHZ12:12ROCpossibilitiesROCCausalityROCoutsideofsomecircle1Z2ifstable1/2Z平面51/2Z平面1对于一个稳定的因果的LTI系统，它的所有的极点都位于单位圆内部。nincludeunitcircleh(n)exist.satableROCDTFTCausalityROCisosomeutsidecircle6LTI单位脉冲响应为h(n)LTI-h(n)x(n)y(n)*yxh()()nhnaunn7LTIh(n)FIRIIR具有有理传递函数的IIR不具有有理传递函数的IIR11()za1HZaz()sin()hncn*()()kyxhxkhnk怎么实现？怎么实现？8具有有理传递函数的IIR滤波器，我们使用微分(差分)方程来实现1ex:1()()()1namplehnaunHZaz1111()()()()1()1()()()()()(1)DEYZHZXZXZazYZazXZYZazYZXZynaynxn9()(1)constantDElinearynaynxncoefficient线性常系数差分方程用来实现具有有理函数的无限冲激响应滤波器问题：在什么条件下线性常系数差分方程对应于LTI系统或者说是在什么情况下对应因果的LTI系统？10:()(1)exynaynxn是否是一个系统？一个系统的定义？221211122111()(1)1?1?????:supposeynisasolutionofequationthenynisalsoasolutionofthisequationifynyn-1()ynyn-1()1()nnnynynnproofynkaaxnaxnynkaaynkaxnynkaay22ynyn-1()1nnkxnaxna11系统的定义：一个唯一的输入给出一个唯一的输出。对于同样的输入，差分方程的解不唯一，因此差分方程不是一个系统。怎样使差分方程对应于一个系统呢？增加初始条件：initialcondition差分方程＋initialcondition系统120ynyn-1()()()..y(-1)=yaxnxnbnIC00201.n0y(0)=ay(-1)+b(0)=ayy(1)=ay(0)+b(1)=aay=an0y(n)=bbaybn0a(ay)b0022.y(n)=ay(n-1)+x(n)aY(n-1)=y(n)-x(n)11y(n-1)=()()1n-2y(-2)=y(-1)+(-1)1=y1y(-3)=yynxnaabaaaan+10n-1y(n)=ay13nn+100n+1n0combine:y(n)=a(ay)()ay(1)=aya()bununbun解差分(微分)方程的步骤：①寻找方程的齐次解yh(n)②寻找方程的特解yp(n)③合并特解和齐次解yh(n)+yp(n)④附加初始条件14①齐次解，齐次解就是假定输入为0的情况：0ynyn-1()()()..y(-1)=yaxnxnbnICh1()0ynyn-1:)(()nnnnxnaguessynkkaaynakak15②特解11np1np2()(1)()()2.1()12.22.1y(n)=bau(n)2.1y(n)=-bau(-n-1)ynaynbnYZazYZbzabYZazza③合并齐次解＋特解()()totphyynyn16=nntot0110002.1y(n)=ka+bau(n)I.C.y(-1)=y(1)(1)totapplyykabauykayn+1ntot0y(n)=a+bau(n)yntot011tot002.2y(n)=-bau(-n-1)I.C.y(-1)=yy(-1)=y(0)nkaapplykabaukayb0ntot0ntot01ntot0y(n)=-bau(-n-1)y(n)=(u(n)+u(-n-1))-bau(-n-1)y(n)=+bau(n)nnnnkaybaybaayabaay1ntot0y(n)=+bau(n)nay17两种方法得到了相同的结果0ynyn-1()()()..y(-1)=yaxnxnbnIC这些条件加起来是否定义了一个LTI系统呢？No!!!线性系统：在b＝0,即幅度因子为0的情况下，对应的输出也为0，那么现在呢？为什么?{()}{()}0{()}00TbxnbTxnbTbxny18如果要让输出也为0,那么只有当才满足线性条件00y0ynyn-1()()()..y(-1)=yIanxnbnCx那么上述系统是否是满足时不变(TI)特性，也就是一个时不变系统呢？No!!!为什么?n+1nn+1tot00y(n)=a+bau(n)=ayy19n+1ntot0letx(n)=b(n)y(n)=a+bau(n)y00n-n+1n-ntot000y(n-n)=a+bau(n-n)y0n+1tot00y(n)=a|YyTI常系数差分方程对应于一个LTI系统，必须要求，也就是初始条件为000y不是一个时不变系统00n-nn+1tot00tot0ifw(n)=b(n-n)computingy(n)=a+bau(n-n)?y(n-n)y20如果需要系统同时是因果的呢？需要初始松弛条件，initialrestconditionLCCDEIRCLTIcausality定义IRC,InitialRestCondition00forx(n)=0,nn()0,nnifynn0()xn21()ynn0对于一阶差分方程的情况，只需要求输出的前一个点为00()xn-1()yn:()()if()(5)?exxnnxnny(-1)=022LCCDEIRC因果的LTI系统H(Z)在某个圆周之外23终止松弛条件(Finalrestcondition)线性常系数差分方程＋终止松弛条件线性时不变系统＋反因果定义FRC,Finalrestcondition00forx(n)=0,nn()0,nnifyn24n0()xn()ynn00()xn1()yn对于一阶的情况，只需要求输出的后一个点为025LCCDEFRC反因果的LTI系统H(Z)在某个圆周之内26:()(1)()1.IRCY(-1)=02.FRCY(1)=0exynaynbncausalanticausal一个差分方程对应于两个不同的系统limplemen:()(1)()limplemen:11(1)()()or11()(1)(1)causatationynaynxnaynynticausatationnxnaaynynxnaa27考虑一个二阶的差分方程()(1)(2)()1.()(1)(2)()causal,ROCofH(z)outsideofsomecircleynaynbynxnynaynbynxn线性＋因果LCCDE+初始松弛条件t28112.(2)()(1)()11()(2)(1)(2)anti-causal,ROCofH(z)insideofsomecircleaynynynxnbbbaynynynxnbbb113.(1)()(2)()11()(1)(1)(1)noncausal,ROCofH(z)isaringbynynynxnaaabynynynxnaaa线性＋反因果LCCDE+终止松弛条件t29因果系统非因果系统反因果系统二阶差分方程对应的初始条件应该是什么样的呢？:()(5)(3)(4)0exxnnyy3()yn40()xn530怎样用z变换解带有初始松驰条件或者终止松驰条件的线性常系数差分方程？假设下列方程是一个因果的实现()511:()(1)(2)()()664xnnexynynynun初始条件为什么的时候，我们可以得到因果的，线性时不变系统？(1)(2)0yy对上面的差分方程进行Z变换31121111511()()()16614683()111111234choosetocomputeI.Z.Toutsideofsomecircle111()6()()8()()3()()234nnnYzzYzzYzzYzzzzROCynununun那我们又怎么得到传递函数呢？传递函数是输入为什么情况下系统的输出？冲击响应的定义是如果输入为，那么这时候的输出就是冲击响应函数。()n321251()(1)(2)()66()1()51()16611()3()()2()()23()()nnynynynYzHzXzzzxhnnnunun()hn