1.1.2余弦定理1

复习回顾:正弦定理:在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等.即:2R为三角形外接圆的直径说明:1.正弦定理适合任意三角形是勾股定理的推广2.正弦定理说明同一三角形中,边与它所对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数2R,使a=2RsinA,b=2RsinBc=2RsinC3已知两角及其一边可以求其他边.已知两边及其一边的对角可以求其他角2sinsinsinabcRABCCcBbBbAasinsin,sinsin由问题:已知三角形的两边及他们的夹角,求第三边.在△ABC中,已知AB=c,AC=b,∠A=A,求a即BC.尝试:能否用正弦定理求解困难:因为角B,C未知,较难求a发现:当一个三角形的两边和他们的夹角确定后那么第三边也是确定不变的值.也就是说∠A的对边随着∠A的变化而变化.1,∠A=时,则a2=b2+c22,∠A=π时,则a2=(b+c)2=b2+c2+2bc3,∠A=0时,则a2=(b-c)2=b2+c2-2bc2我们来看三种极端情况∠A=π∠A=02A相同点:都含有b2+c2不同点:-2bc的系数不同-2bc的系数正好是,π,0余弦值2那我们就来猜想一下这个公式是不是满足任意三角形呢？那么就得到了当角A为三个特殊角时的公式a2=b2+c2-2bccosA凭感觉上述公式应该满足任意三角形，但是我们应该给出严格的证明.同学们来考虑:证明恒等式通常采用什么思考方法？bccosA这样的结构我们在什么地方遇到过?ABCcab证明:b2+c2–2bccosA=2+2–2cosA=+-2=（-)2==a2ACABACAB2AC2ABACABACAB2BC余弦定理:(公式形式)在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,则a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC或:cosA=cosB=cosC=bcacb2222cabac2222abcba2222命题形式:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.作用:等式a2=b2+c2-2bccosA含有四个量a、b、c及A,从方程角度看,已知其中三个量,可以求出第四个量.根据已知量与未知量的性质可以知道,余弦定理可以解决有关三角形的哪些问题呢？余弦定理基本作用已知两边及它们的夹角,求第三边已知三边求三个角已知三边判断三角形的形状已知两边及其中一边的对角,求第三边例题与训练:在△ABC中,已知a=7,b=5,c=3,求A、B和C精确到。1解:∵cosA===∴A=∵cosB==∴B≈∴C=bcacb222235273522221。120cabac222222237523×7。38。22变式1:已知三角形三边长为a,b,c,怎样判断△ABC是锐角三角形,直角三角形还是钝角三角形？设a是最长边,则△ABC是直角三角形a2=b2+c2△ABC是锐角三角形a2b2+c2△ABC是钝角三角形a2b2+c2在△ABC中,已知a=,c=,B=45°求b及A3226解:∵b2=a2+c2-2accosB===8∴b=2。）（45cos26322)26()32(22)13(34)26(1222∵cosA==∴A=60°bcacb222221练习:平行四边形两条邻边的长分别是它们的夹角是45°,求这个平行四边形的两条对角线长与它的面积.4643,cmcm和解:如图,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos45°=16×3∴BD=43AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos135°=16×15∴AC=415SABCD=AB·AD·sin45°=48(cm)2小结1.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例.2.余弦定理有两个基本应用:一是已知三边求三角,二是已知两边及他们的夹角求第三边.3.余弦定理和正弦定理是同一三角形的约束条件的不同表现形式,在本质上应该是一致的.课外思考余弦定理和正弦定理反映了同一三角形边、角之间的的度量关系,本质上时一致的.你能证明这两个定理时等价的吗?