西安交通大学数理统计研究生试题

2009(上)《数理统计》考试题(A卷)及参考解答一、填空题（每小题3分，共15分）1，设总体X和Y相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N，而129(,,)XXX和129(,,)YYY是分别来自X和Y的样本，则192219XXUYY服从的分布是_______.解：(9)t．2，设1ˆ与2ˆ都是总体未知参数的估计，且1ˆ比2ˆ有效，则1ˆ与2ˆ的期望与方差满足_______.解：1212ˆˆˆˆ()(),()()EEDD．3，“两个总体相等性检验”的方法有_______与_______.解：秩和检验、游程总数检验．4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______.解：正态性、方差齐性、独立性．5，多元线性回归模型YβX中，β的最小二乘估计是ˆβ=_______.解：1ˆXYβ=()XX．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设12(,,,)(2)nXXXn为来自总体(0,1)N的一个样本，X为样本均值，2S为样本方差，则____D___.（A）(0,1)nXN；（B）22()nSn；（C）(1)()nXtnS；（D）2122(1)(1,1)niinXFnX.2，若总体2(,)XN，其中2已知，当置信度1保持不变时，如果样本容量n增大，则的置信区间____B___.（A）长度变大；（B）长度变小；（C）长度不变；（D）前述都有可能.3，在假设检验中，分别用，表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n一定时，下列说法中正确的是____C___.（A）减小时也减小；（B）增大时也增大；（C）,其中一个减小，另一个会增大；（D）（A）和（B）同时成立.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设TS为总离差平方和，eS为误差平方和，AS为效应平方和，则总有___A___.（A）TeASSS；（B）22(1)ASr；（C）/(1)(1,)/()AeSrFrnrSnr；（D）AS与eS相互独立.5，在一元回归分析中，判定系数定义为2TSRS回，则___B____.（A）2R接近0时回归效果显著；（B）2R接近1时回归效果显著；（C）2R接近时回归效果显著；（D）前述都不对.三、（本题10分）设总体21(,)XN、22(,)YN，112(,,,)nXXX和212(,,,)nYYY分别是来自X和Y的样本，且两个样本相互独立，XY、和22XYSS、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12121211()()(2)nnXYtnnS，其中2221212(1)(1)2XYnSnSSnn.证明：易知221212(,)XYNnn，1212()()(0,1)11XYUNnn．由定理可知22112(1)(1)XnSn，22222(1)(1)YnSn．由独立性和2分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYnSnSVnn．由U与V得独立性和t分布的定义可得1212121112()()(2)/(2)nnXYUtnnVnnS．四、（本题10分）已知总体X的概率密度函数为1,0(),0,xexfx其它其中未知参数0,12(,,,)nXXX为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．解：（1）101()xvEXxfxdxxedx，用111niivXXn代替，所以niiXXn11ˆ．（2）11ˆ()()()()niiEEXEXEXn，所以该估计量是无偏估计．五、（本题10分）设总体X的概率密度函数为(;)(1),01fxxx，其中未知参数1，12(,,)nXXX是来自总体X的一个样本，试求参数的极大似然估计．解：1(1)(),01()0,nniiixxL其它当01ix时，1ln()ln(1)lnniiLnx，令1ln()ln01niidLnxd，得1ˆ1lnniinx．六、（本题10分）设总体X的密度函数为e,0;(;)0,0,xxfxx未知参数0，12(,,)nXXX为总体的一个样本，证明X是1的一个UMVUE．证明：由指数分布的总体满足正则条件可得222211()ln(;)IEfxE，1的的无偏估计方差的C-R下界为2221221[()]11()nInn．另一方面()1EX，21Var()Xn，即X得方差达到C-R下界，故X是1的UMVUE．七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重,得其样本标准差为007.0S公斤,试问：（1）在显著性水平05.0下,可否认为该批苹果重量标准差达到要求?（2）如果调整显著性水平0.025，结果会怎样？参考数据:023.19)9(2025.0,919.16)9(205.0,535.17)8(2025.0,507.15)8(205.0．解：（1）2222021:0.005,~8nSH，则应有：2220.050.0580.005,(8)15.507P，具体计算得：22280.00715.6815.507,0.005所以拒绝假设0H，即认为苹果重量标准差指标未达到要求．（2）新设20:0.005,H由2220.025280.00717.535,15.6817.535,0.005则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．八、（本题10分）已知两个总体X与Y独立，211~(,)X，222~(,)Y，221212,,,未知，112(,,,)nXXX和212(,,,)nYYY分别是来自X和Y的样本，求2122的置信度为1的置信区间.解：设22,XYSS分别表示总体XY，的样本方差，由抽样分布定理可知221121(1)(1)XnSn，222222(1)(1)YnSn，由F分布的定义可得211222121222221222(1)(1)(1,1)(1)(1)XXYYnSnSFFnnnSSn．对于置信度1，查F分布表找/212(1,1)Fnn和1/212(1,1)Fnn使得/2121/212(1,1)(1,1)1PFnnFFnn，即22222121/2122/212//1(1,1)(1,1)XYXYSSSSPFnnFnn，所求2221的置信度为1的置信区间为22221/212/212//,(1,1)(1,1)XYXYSSSSFnnFnn．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．2009(上)《数理统计》考试题(B卷)及参考解答一、填空题（每小题3分，共15分）1，设总体X服从正态分布(0,4)N，而1215(,,)XXX是来自X的样本，则221102211152()XXUXX服从的分布是_______.解：(10,5)F．2，ˆn是总体未知参数的相合估计量的一个充分条件是_______.解：ˆˆlim(),limVar()0nnnnE．3，分布拟合检验方法有_______与_______.解：2检验、柯尔莫哥洛夫检验．4，方差分析的目的是_______.解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5，多元线性回归模型YβX中，β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______.解：1ˆ2Cov(β)=()XX．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体~(1,9)XN，129(,,,)XXX是X的样本，则___B___.（A）1~(0,1)3XN；（B）1~(0,1)1XN；（C）1~(0,1)9XN；（D）1~(0,1)3XN．2，若总体2(,)XN，其中2已知，当样本容量n保持不变时，如果置信度1减小，则的置信区间____B___.（A）长度变大；（B）长度变小；（C）长度不变；（D）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___.（A）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的；（C）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；（D）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设TS为总离差平方和，eS为误差平方和，AS为效应平方和，则总有___A___.（A）TeASSS；（B）22(1)ASr；（C）/(1)(1,)/()AeSrFrnrSnr；（D）AS与eS相互独立.5，在多元线性回归分析中，设ˆβ是β的最小二乘估计，ˆˆYβX是残差向量，则___B____.（A）ˆn0；（B）1ˆ]XX2nCov()=[()IXX；（C）ˆˆ1np是2的无偏估计；（D）（A）、（B）、（C）都对.三、（本题10分）设总体21(,)XN、22(,)YN，112(,,,)nXXX和212(,,,)nYYY分别是来自X和Y的样本，且两个样本相互独立，XY、和22XYSS、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12121211()()(2)nnXYtnnS，其中2221212(1)(1)2XYnSnSSnn.证明：易知221212(,)XYNnn，1212()()(0,1)11XYUNnn．由定理可知22112(1)(1)XnSn，22222(1)(1)YnSn．由独立性和2分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYnSnSVnn．由U与V得独立性和t分布的定义可得1212121112()()(2)/(2)nnXYUtnnVnnS．四、（本题10分）设总体X的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,xfxx其他，其中参数01)（未知，12()nXXX，，，是来自总体的一个样本，X是样本均值，（1）求参数；的矩估计量ˆ（2）证明24X不是2的无偏估计量．解：（1）101()(,)22(1)42xxEXxfxdxdxdx，令()XEX，代入上式得到的矩估计量为1ˆ22X．（2）222211141(4)44[()]4()424EXEXDXEXDXDXnn，因为()00DX，，所以22(4)EX．故24X不是2的无偏估计量．五、（本题10分）设总体X服从[0,](0)上的均匀分布，12(,,)nXXX是来自总体X的一个样本，试求参数的极大似然估计．解：X的密度函数为1,0;(,)0,xfx其他,似然函数为1,0,1,2,,,()0,nixinL其它显然0时，()L是单调减函数，而12max,,,nxxx，所以12ˆmax,,,nXXX是的极大似然估计．六、（本题10分）设总体X服从(1,)Bp分布，12(,,)nXXX为总体的样本，证明X是参数p的一个UMVUE．证明：X的分布律为1(;)(1),0,1xxfxp