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第一讲工程问题工程问题是应用题中的一种类型．在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）．这三个量之间有下述一些关系式：工作效率×工作时间＝工作总量，工作总量÷工作时间＝工作效率，工作总量÷工作效率＝工作时间．为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效．例1一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？分析设这项工程为1个单位，则甲、乙合作的工效为112，乙、丙合作的工效为115，甲、丙合作的工效为120。因此甲、乙、丙三队合作的工效的2倍为112＋115＋120，所以甲、乙、丙三队合作的工效为（112＋115＋120）÷2=110。因此三队合作完成这项工程的时间为1÷110=10（天）解：1÷[（112＋115＋120）÷2]=10（天）答：甲、乙、丙三队合作需10天完成．说明：我们通常把工量“一项工程”看成一个单位，这样，工效就用工时的倒数来表示。如例1中甲、乙两队合作的工时为12天，那么工效就为112，它表示甲、乙两队一天完成全部工程的112。例2师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务．师傅先做5天后，因事外出，由徒弟接着做3天，共完成任务的710批零件各需几天？分析设一批零件为单位“１”，其中６天完成任务，用16表示师徒的工效和．要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工效，关键在于把师傅先做5天，接着徒弟做3天转化为师徒二人合作3天，师傅再做2天．解：师傅工效：（710－16×３）÷２＝110；徒弟工效：16－110＝115；师傅单独做需几天：１÷110＝10（天）徒弟单独做需几天：1÷115＝15（天）。答：如果单独做，师傅需10天，徒弟需15天．例3一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？分析解答工程问题时，除了用一般的算术方法解答外，还可以根据题目的条件，找到等量关系，列方程解题。解：设甲做了x天．那么，甲完成工作量的112x，乙做的天数10－x，乙完成工作量（10－x）×19，因此112x＋（10－x）×19=1，两边同乘36，得到：3x＋40－4x＝36x＝4．答：甲做了4天．例4一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？分析设一件工作为单位“1”．甲做6小时，乙再做12小时完成或者甲先做8小时，乙再做6小时都可完成，用图表示它们的关系如下：由图不难看出甲2小时工作量＝乙6小时工作量，∴甲1小时工作量＝乙3小时工作量．可用代换方法求解问题．解：若由乙单独做共需几小时：6×3＋12＝30（小时）．若由甲单独做需几小时：8＋6÷3＝10（小时）．甲先做3小时后乙接着做还需几小时：（10－3）×3＝21（小时）．答：乙还需21小时完成．例5筑路队预计30天修一条公路．先由18人修12天只完成全部工程的13。如果想提前6天完工，还需增加多少人？分析由18人修12天完成了全部工程的13，可通过18×12求出用一天完成13工作量共需要的总人数，也可通过18×12求出用一人完成13工作量共需要的总天数。所以由13÷（18×12）求出1人1天完成全部工程的几分之几（即一人的工效）。解：①1人1天完成全部工程的几分之几（即一人的工效）：13÷（18×2）=1648②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人：（1－13）÷[1648×（30－12－6）]=23÷12648=36（人）③需增加几人：36－18＝18（人）．答：还要增加18人．例6蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需5小时．排光一池水，单开排水管需3小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水…的顺序轮流各开1小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）分析与解答①在解答“水管注水”问题时，会出现一个进水管，一个出水管的情况．若进水管、出水管同时开放，则积满水的时间＝1÷（进水管工效－出水管工效）。排空水的时间＝1÷（出水管工效－进水管工效）．②这道应用题是分析推理与计算相结合的题目．根据已知条件推出水池中的水每小时减少13－15=215。水池中有半池水即12，经过6小时后还剩12－215×（6÷2）=110。如果按进水、排水的顺序进行，则又应进水1小时，这时水池内共有水110＋15=310。如果按每小时13的流速排出需要310÷13=910（小时），共用的时间为6＋1＋910=7.9（小时）=7小时54分刚好排完。例7一件工作，甲5小时先完成了14，乙6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少时间才能完成？分析这道题是工程问题与分数应用题的复合题．解题时先要分别求出甲、乙工作效率，再把余下的工作量转化为占单位“1”（总工作量）的几分之几？解：甲工作效率：14÷5=120；乙工作效率：（1－14）×12÷6=116；余下部分甲、乙合作需要几小时：（1－14）×（1－12）÷（120＋116）=133（小时）答：还需要133小时才能完成任务。例8甲、乙二人植树，单独植完这批树甲比乙所需要的时间多13，如果二人一起干，完成任务时乙比甲多植树36棵，这批树一共多少棵？分析求这批树一共多少棵，必须找出与36棵所对应的甲、乙工效差。乙知甲比乙所用的时间多13，可以求出甲与乙所用的时间比为4：3。当工作总量一定的情况下，工效与工时成反比例，甲与乙的工时比为43：1=4：3，所以甲与乙的工效比是3：4。这个间接条件一旦揭示出来，问题就得到解决了。解：设乙所用时间为“1”，甲的时间是乙的1＋13=113（倍），则甲与乙的时间比是4：3。工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例，所以甲与乙的工效比是时间比的反比，为3∶4。共植树多少棵：36÷（47－37）=252（棵）答：这批树一共252棵．例9加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的25没有完成。乙知甲每天比乙多加工3个零件，求这批零件共多少个？分析欲求这批零件共多少个，由题中条件只需知道甲、乙二人每天共做多少个即可，然后这就转化为求甲、乙两人单独做各需多少天，有了这个结论后，只需算出3个零件相当于总数的几分之几即可．由条件知甲做16天，乙做12天共完成工程的35，也即相当于甲、乙二人合做12天，另外加上甲又做4天共完成这批零件的35；又知道甲、乙二人合做24天可以完成，因此甲单独做所用天数可求出，那么乙单独做所用天数也就迎刃而解。解：甲、乙合作12天，完成了总工程的几分之几？124×12=12甲1天能完成全工程的几分之几？（35－12）÷（16－12）=140乙1天可完成全工程的几分之几？124－140=160这批零件共多少个？3÷（140－160）=360（个）答：这批零件共360个．例10一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，…，两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？分析要求共用多少小时？可以设想把这些小时重新分配：甲做1小时，乙做1小时，它们相当于合作1小时，也即是每2小时，相当于合做1小时．这样先大致算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了．解：①若甲、乙两人合作共需多少小时？1÷（112＋118）=175（小时）②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？1－7×（112＋118）=136③余下的136由甲单独做需要多少小时？136÷112=13（小时）④共用了多少小时？7×2＋13=1143（小时）答：共用了1143小时。习题一1，一项工程，甲单独做12天可以完成．如果甲单独做3天，余下工作由乙去做，乙再用6天可以做完．问若甲单独做6天，余下工作乙要做几天？2，一条水渠，甲乙两队合挖30天完工．现在合挖12天后，剩下的由乙队挖，又用24天挖完．这条水渠由乙单独挖，需要多少天3，客车与货车同时从甲、乙两站相对开出，经2小时24分钟相遇，相遇时客车比货车多行9.6千米．已知客车从甲站到乙站行4小时30分钟，求客车与货车的速度各是多少？4，水箱上装有甲、乙两个注水管．单开甲管20分钟可以注满全箱。现在两管同时注水2.5分钟，注满水箱的524。如果单开乙管需要多少分钟注满水箱？5，一项工程，甲、乙单独做分别需要18天和27天．如果甲做若干天后，乙接着做，共用20天完成．求甲乙完成工作量之比．6，一项工程，甲、乙两队合作6天能完成56。已知单独做，甲完成13与乙完成12所需时间相等。问单独做甲、乙各需多少天？7，做一批儿童玩具．甲组单独做10天完成，乙组单独做12天完成，丙组每天可生产64件．如果让甲、乙两组合作4天，则还有256件没完成．现在决定三个组合做这批玩具，需要多少天完成？