概率论与数理统计第八章课后习题及参考答案

1概率论与数理统计第八章课后习题及参考答案1．设某产品指标服从正态分布，它的均方差已知为150h，今从一批产品中随机抽查26个，测得指标的平均值为1637h．问在5%的显著性水平，能否认为这批产品的指标为1600h？解：总体X～)150,(2N，检验假设为0H：1600，1H：1600．采用U检验法，选取统计量nXU/00，当0H成立时，U～)1,0(N，由已知，有1637x，26n，05.0，查正态分布表得96.1025.0u，该检验法的拒绝域为}96.1{u．将观测值代入检验统计量得2577.142.293726/15016001637u，显然96.12577.1u，故接受0H，即可认为这批产品的指标为1600h．2．正常人的脉搏平均为72次/min，现某医生从铅中毒患者中抽取10个人，测得其脉搏(单位：次/min)如下：54，67，68，78，70，66，67，70，65，69设脉搏服从正态分布，问在显著性水平05.0下，铅中毒患者与正常人的脉搏是否有显著性差异？解：本题是在未知方差2的条件下，检验总体均值72．取检验统计量为nSXT/0，检验假设为0H：720，1H：72．当0H成立时，T～)1(nt，由已知，有4.67x，93.5s，05.0，查t分布表得262.2)9(025.0t，将观测值代入检验统计量得45.288.16.410/93.5724.67/0nsxt，2显然)9(262.2447.2025.0tt，故拒绝0H，即铅中毒患者与正常人的脉搏有显著性差异．3．测定某溶液中的水分，得到10个测定值，经统计%452.0x，22037.0s，该溶液中的水分含量X～),(2N，与2未知，试问在显著性水平05.0下该溶液水分含量均值是否超过5%？解：这是在总体方差2未知的情况下，关于均值的单侧检验．检验假设为0H：%5.0，1H：%5.0．此假设等价于检验假设0H：%5.0，1H：%5.0．由于2未知，取检验统计量为nSXT/0．当0H成立时，T～)1(nt，拒绝域为)}1(/{0ntnsx，将观测值代入检验统计量得709.1037.0)5.052.0(10/0nsxt，由05.0，查t分布表得833.1)9(05.0t，显然)9(833.1709.105.0tt，所以接受0H，即该溶液水分含量均值是否超过5%．4．甲、乙两个品种作物，分别用10块地试种，产量结果97.30x，79.21y，7.2621s，1.1222s．设甲、乙品种产量分别服从正态分布),(21N和),(22N，试问在01.0下，这两种品种的产量是否有显著性差异？解：这是在方差相等但未知的情况下检验两正态总体的均值是否相等的问题．检验假设为0H：21，1H：21．由题可知，22221未知，因此取检验统计量3nmnmmnSnSmYXT)2()1()1(2221，当0H为真时，T～)2(nmt，该检验法的拒绝域为)}2({2/nmtt．由题设，10nm，97.30x，79.21y，7.2621s，1.1222s．将其代入检验统计量得nmnmmnSnSmyxt)2()1()1(222166.4201810101.1297.26979.2197.30，由01.0，查t分布表得878.2)18()2(005.02/tnmt．显然)18(878.266.4005.0ttt，因此，拒绝0H，即这两种品种的产量有显著性差异．5．某纯净水生产厂用自动灌装机装纯净水，该自动灌装机正常罐装量X～)4.0,18(2N，现测量某厂9个罐装样品的灌装量(单位：L)如下：0.18，6.17，3.17，2.18，1.18，5.18，9.17，1.18，3.18在显著性水平05.0下，试问：(1)该天罐装是否合格？(2)罐装量精度是否在标准范围内？解：(1)检验罐装是否合格，即检验均值是否为18，故提出假设0H：18，1H：18，由于方差224.0已知，取检验统计量为nXU/00，当0H为真时，U～)1,0(N，该检验法的拒绝域为}{2/uu．由题可知，9n，18x，将其代入检验统计量得09/4.01818/00nxu，由05.0，查标准正态分布表得96.1025.0u，显然，025.096.10uu，故接受0H，即该天罐装合格．4(2)检验罐装量精度是否在标准范围内，即检验假设0H：224.0，1H：224.0，此假设等价于0H：224.0，1H：224.0．由于18已知，选取检验统计量为niiX12202)18(1，当0H为真时，2～)(2n，该检验法的拒绝域为)}({22n．由已知计算得625.6)18(112202niix，查2分布表得307.18)10(205.0，由此知)10(307.18625.6205.02，故接受0H，即罐装量精度在标准范围内．6．某厂生产某型号电池，其寿命长期以来服从方差221600h的正态分布，现从中抽取25只进行测量，得222500hs，问在显著性水平05.0下，这批电池的波动性较以往有无显著变化？解：这是在均值未知的条件下，对正态总体方差的检验问题．检验假设为0H：202，1H：202，其中160020，取检验统计量为222)1(Sn．当0H为真时，2～)(2n，对于给定的显著性水平，该检验法的拒绝域为)}1({22/12n或)}1({22/2n．将观测值25002s代入检验统计量得5.371600250024)1(222sn．对于05.0，查2分布表得401.12)24()1(2975.022/1n，364.39)24()1(2025.022/n，由于)24(364.395.37401.12)24(2025.022975.0，故接受0H，即这批电池的波动性较以往无显著变化．57．某工厂生产一批保险丝，从中任取10根试验熔化时间，得60x，8.1202s，设熔化时间服从正态分布),(2N，在01.0下，试问熔化时间的方差是否大于100？解：本题是在均值未知的条件下，检验2是否大于100，是关于2的单侧检验问题．检验假设为0H：1002，1H：1002，此假设等价于0H：1002，1H：1002，这是左侧检验问题，取检验统计量为2022)1(Sn，当0H为真时，2～)(2n，该检验法的拒绝域为)}1({212n．将10n，10020，8.1202s，代入上述统计量得87.101008.1209)1(2022sn．对于01.0，查2分布表得0879.2)9(299.0，显然)9(0879.287.10299.02，接受0H，即熔化时间的方差大于100．本题如果将检验假设设为0H：1002，1H：1002，即进行右侧检验，统计量得选取如上，则该检验法的拒绝域为)}1({22n．对于01.0，查2分布表得666.21)9(201.0，显然)9(666.2187.10201.02，接受0H，即熔化时间的方差不大于100．注：若选取的显著性水平为3.0，用MATLAB计算得6564.10)9(23.0，从而有)9(6564.1087.1023.02，则应拒绝原假设，即熔化时间的方差大于100．6上述结果说明了在观测值接近临界值时，原假设不同的取法会导致检验结果的不一样，如果用p值检验法则可避免上述矛盾．8．设有两个来自不同正态总体的样本，4m，5n，60.0x，25.2y，07.1521s，81.1022s．在显著性水平05.0下，试检验两个样本是否来自相同方差的总体？解：记两正态总体为),(211N和),(222N，其中1和2未知．检验假设为0H：2221，1H：2221．取检验统计量为2221SSF，当0H为真时，F～)1,1(nmF，该检验法的拒绝域为)}1,1({2/1nmFF或)}1,1({2/nmFF．由题可知，05.0，4m，5n，将观测值代入检验统计量得39.181.1007.152221ssF，查F分布表得98.9)4,3()1,1(025.02/1FnmF，066.010.151)3,4(1)4,3()1,1(025.0975.02/FFnmF．由此知)4,3(98.939.1066.0)4,3(025.0975.0FF，观测值没有落入拒绝域内，接受0H，即两个样本来自相同方差的总体．9．某厂的生产管理员认为该厂第一道工序加工完的产品送到第二道工序进行加工之前的平均等待时间超过90min．现对100件产品的随机抽样结果的平均等待时间为96min，样本标准差为30min．问抽样的结果是否支持该管理员的看法？(05.0)．解：这是非正态总体均值的检验问题，用X表示第一道工序加工完的产品送到第二道工序进行加工之前的等待时间，设其均值为，依题意，检验假设为0H：90，1H：90．7由于100n为大样本，故用U检验法．总体标准差未知，用样本标准差S代替．取检验统计量为100/90SXU，当0H为真时，近似地有U～)1,0(N，该检验法的拒绝域为}{uu．由题可知，96x，30s，100n．对于05.0，查标准正态分布表得645.105.0uu．将观测值代入检验统计量得2100/309096100/90sxu，显然，05.0645.12uu，故拒绝0H，即平均等待时间超过90分钟，也即支持该管理员的看法．10．一位中学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的初中学生平均每周看8h电视．”她认为她所领导的学校，学生看电视时间明显小于该数字．为此，她向学校的100名初中学生作了调查，得知平均每周看电视的时间5.6xh，样本标准差为2sh，问是否可以认为校长的看法是对的？(05.0)解：初中生每周看电视的时间不服从正态分布，这是非正态总体均值的假设检验问题．检验假设为0H：8，1H：8．由于100n为大样本，故用U检验法，取检验统计量为nSXU/，当0H为真时，近似地有U～)1,0(N，该检验法的拒绝域为}{uu．由题可知，5.6x，2s，100n．对于05.0，查标准正态分布表得645.105.0uu．将观测值代入检验算统计量得5.7100/285.6u，显然，05.0645.15.7uu，故拒绝0H，即初中生平均每周看电视的时间少于8小时，这位校长的看法是对的．811．已知某种电子元件的使用寿命X(单位：h)服从指数分布)(E．抽查100个元件，得样本均值950xh．能否认为参数001.0？(05.0)解：X～)(E，1)(XE，21)(XD，由中心极限定理知，当n充分大时，近似地有nXnXU)1(/1/1～)1,0(N．由题可知001.00，检验假设可设为0H：0，1H：0．取检验统计量为nXnXU)1(/1/1000，当0H为真时，近似地有U～)1,0(N，该检验法的拒绝域为}{2/uu．由题知，100n，950x，05.0，查标准正态分布表知96.1025.02/uu．将观测值代入检