1.1.2余弦定理

人教版A版高中数学必修5第一章《解三角形》1.1.2余弦定理正弦定理：CcBbAasinsinsinR2可以解决两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。复习回顾正弦定理：R2可以解决两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。在第二种情况下：若知道的是大边的对角,只有唯一的一组解;若给出的是小边的对角,则结果可能是两解或一解、或无解.2019/12/16（一）设置情境，体验精彩某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置C，量出C到山脚A、B的距离，分别是CA=8km，CB=5km，再利用经纬仪（测角仪）测出B对山脚AB的张角，∠C=60。最后通过计算求出山脚的长度AB。ABC问题1：△ABC确定吗？问题2：本题能用正弦定理解答吗？问题3：如何用学过的数学知识解答这个问题？探究：在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA的夹角为∠C，求边c.﹚cABbCAaCB,,解:设)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bac（二）抽象概括，建模探究向量法﹚Abccbacos2222﹚2222coscababC探究：在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA的夹角为∠C，求边c.（二）抽象概括，建模探究﹚Baccabcos2222探究：在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA的夹角为∠C，求边c.2222coscababCAbccbacos2222（二）抽象概括，建模探究余弦定理你能用文字说明吗？CBAabc三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosC（三）归纳共性，形成定理想一想：余弦定理能够解决什么问题？a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosC方程思想：四个量，知三求一1.已知两边b,c和它们的夹角A求第三边a（直接用）；2.已知三边求角（变形）.变形变一变乐在其中b2+c2-a22bccosA=c2+a2-b22cacosB=a2+b2-c22abcosC=CBAabc1.如何欣赏定理？（对余弦定理的理解）(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．（四）欣赏定理，加深理解2019/12/16解决实际问题某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置C，量出C到山脚A、B的距离，分别是CA=8km，CB=5km，再利用经纬仪（测角仪）测出B对山脚AB的张角，∠C=60。最后通过计算求出山脚的长度AB。ABC22285258cos6049AB解：7kmAB在△ABC中，若，则cosC=0，即∠C=90°（直角）若，则cosC0，即∠C90°（锐角）若，则cosC0，即∠C90°（钝角）222bac222bac思考1：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系。那么，如何看待这两个定理之间的关系？222bac因此，余弦定理可看作是勾股定理的推广，勾股定理可看作是余弦定理的特例。思考2：已知三角形三边长为a,b,c,怎样判断△ABC是锐角三角形,直角三角形还是钝角三角形？归纳：设c是最长边,则△ABC是直角三角形=c2=b2+c2△ABC是锐角三角形=c2a2+b2△ABC是钝角三角形=c2a2+b2类型一利用余弦定理解三角形[例1]在△ABC中，已知b＝3，c＝23，A＝30°，求边a、角C和角B.（五）典例剖析，拓展提升[解]直接应用余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋(23)2－2×3×23×cos30°＝3，∴a＝3.∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝32＋232－322×3×23＝12.∴B＝60°，∴C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.[点评]1．解三角形时，应先分析题设条件，如本题属于“SAS”型，先用余弦定理求a，在此基础上，可以利用余弦定理计算角B或C的余弦值，也可以利用正弦定理计算角B或C的正弦值．2．常用余弦定理解答两类题目“SAS”或“SSA”型及“SSS”型．（五）典例剖析，拓展提升变式训练1已知在△ABC中，a:b:c＝2:6:(3＋1)，求△ABC的各角度数．（五）典例剖析，拓展提升解：∵a:b:c＝2:6:(3＋1)，令a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k(k0)．由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c2－a22bc＝6＋3＋12－42×6×3＋1＝22，∴A＝45°.cosB＝a2＋c2－b22ac＝4＋3＋12－62×2×3＋1＝12，∴B＝60°.∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.类型二判断三角形的形状[例2]在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状．（五）典例剖析，拓展提升[解]∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc.又∵a2＝b2＋c2－2bccosA，则2cosA＝1，∴A＝60°.又∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.又∵B＋C＝120°，∴△ABC是等边三角形．[点评]判断三角形形状的方法：(1)利用正、余弦定理化角成边，利用代数运算求出三边的关系；(2)由正、余弦定理化边为角，通过恒等变形及内角和定理得到内角关系，从而判定形状．（五）典例剖析，拓展提升类型三正、余弦定理的综合应用[例3]如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．（五）典例剖析，拓展提升[解]在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，设BD＝x，则有142＝102＋x2－2×10xcos60°，即x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16.∵AD⊥CD，∠BDA＝60°，∴∠CDB＝30°.在△BCD中，由正弦定理得BC＝16sin135°·sin30°＝82.思考在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？(2)用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断取舍。(1)用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断取舍。在已知三边和一个角的情况下：求另一个角余弦定理正弦定理定理正弦定理余弦定理内容a2＝；b2＝；c2＝.asinA＝bsinB＝csinC=2Rb2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC（六）课堂小结，类比升华定理正弦定理余弦定理解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.