西电计算方法大作业

科目：计算方法授课老师：史林学院：电子工程学院专业：电子信息工程学生姓名：学号：切触有理插值函数的新算法021213班濮明磊02121234一、新算法优点切触有理插值函数的算法大都是基于连分式进行的，其算法的可行性大都是有条件的，且有理函数次数较高，计算量较大。本文利用拉格朗日插值的性质和分段组合的方法，给出了一种新的切触有理插值算法，并给出误差估计且将其推广到向量值切触有理插值情形。较之其他算法具有有理函数次数较低、计算量较小、算法无条件性、无极点、满足高阶导数插值条件等优点。二、算法分析给定1n个互异的节点ixbxxxxan...210（1.1）所谓的切触有理插值问题，就是寻求有理函)()(xqxp使之满足下列条件niskfxqxpdxdikixxki,...,1,0;1,...,1,0,)()(（1.2）所谓的向量值切触有理插值问题，就是寻求向量值有理函数)())(),...,(),(()()()(21xQxnxnxnxQxNxrd使得niskVxQxNdxdikixxki,...,1,0;1,...,1,0,)()()(（1.3）其中)(xQ和),...,1,0)((njxnj是实系数多项式。利用拉格朗日插值的性质和分段组合方法，构造出一种计对3is的切触有理插值算法并将其推广到向量值切触有理插值情形，既解决了切触有理插值函数的存在性问题，又降低了切触有理插值函数的次数且计算量较低。三、切触有理插值公式为了建立3is的切触有理插值公式利用文间中的方法，引入非负整数)0(ndd将节点（1.1）按dnixxxdiii,...,1,0,,...,,1（2.1）进行分组，对每组节点（2.1）和函数值if及导数值),...,1,;2,1(diiijkfki所做的插值多项式记为)(,xpdi。根据定理1可知多项式)(,xpdi是唯一确定的且次数为23d，对剩下的节点ndidiixxxxxx,...,,,,...,,21110做如下形式的dn33次代数多项式1013)()()(ijndikkiixxxxx（2.2）令dniixxq0)()((2.3)记dnixqxxii,...,1,0,)()()(（2.4）显然)(xi是dndn33型有理函数。利用)(xi和)(,xpdi做线性组合dniidnidiidnidiixxpxxpxxr00,0,)()()()()()(（2.5）不难看出dnnxr323)(型有理函数。定理1对所有的非负整数)0(ndd，由式（2.5）给出的)(xr是满足下列插值条件),...,1,0;2,1,0()()()(nikfxrkiik且分母多项式0)(xq。证设被插值的函数为)(xf，则dniidnidiidniidnidiidniixxpxfxxxpxxxfxrxf00,00,0)()]()()[()()()()()()()(（2.6）当diik,...,1,时，0)(kix，否则0)()(,kdikxpxf，所以在节点（1.1）处式（2.6）的值为零，故可得),...,1,0()(nifxrii。设)()(1),()()(,xDxxxpxfdnoiiidi并根据求导公式得)()()]([)()]()([)]()()([xxxDdxdxDxxdxdxDxxdxdiiiiii（2.7）)()()()()]()([''xxxxxxdxdiiiiii（2.8）当diik,...,1,时，0)()('kikixx，否则，0)()('kikixx，所以在节点（1.1）处式（2.7），（2.8）的值为零，故可得),...,1,0()('nifxriii。20)2()(2)()]()([)]()()([jjjiijniixDxxCxDxx（2.9）jttjititjjiixxCxx0)()()()()()]()([（2.10）当diik,...,1,时，0)()(ktix，否则，0)()(xtji，所以在节点（1.1）处式（2.9），（2.10）的值为零，故可得)(xr满足),...,1,0()(''''nifxrii利用)(xi和)(,xNdi做线性组合dniidnidiidnidiixxNxxNxxr00,0,)()()()()()(（2.11）定理2对所有非负整数)0(ndd，由式（2.11）给出的向量值有理函数)(xr满足插值条件),...,1,0;2,1,0()()()(nikVxrkiik且分母多项式0)(xq事实上，将文中定理中的函数换成向量，采用类似的方法即可证明。式（2.5）和（2.11）就是计对3is的数量值和向量值切触有理插值公式。通过选取不同的非负整数d。可以得到不同次数类型的切触有理插值函数，且分母多项式是恒大于零的。这样既解决了有理插值函数的存在性问题，又降低了有理插值函数的次数。四、误差估计定理3设)(xr是由式（2.5）给出的满足插值条件的有理函数，若)(],,[)()33(23xfbaCxfdd在),(ba内存在，则对于任意点的],[bax，有下面的误差公式)!33()!)(1()()()(333)33(dhddnfxrxfdd（3.1）其中)(max)(),(max)33(],[)33(110xffxxhdbaxdiini五、总结本文利用分段组合方法，构造的只是一种针对3is的切触有理插值算法。虽然解决了切触有理插值函数的存在性问题（有理插值函数的分母多项式无实根，又降低了切触有理插值函数的次数（分母多项式的次数可以降低到任意低）且计算量较低。但是对于is等于任意正整数情况的切触有理插值的情况并没有解决，且本文的构造方法并不能降低分子多项式的次数这些问题值得进一步研究。对于本文的方法，如何选取d的值则需要视情况而定。特别是如果插值节点的数量较大时，本文方法的简便性更能体现。