贪婪算法中正交匹配追踪算法gOMP的原理及仿真

压缩感知重构算法之广义正交匹配追踪(gOMP)广义正交匹配追踪(GeneralizedOMP,gOMP)算法可以看作为OMP算法的一种推广，由文献[1]提出，第1作者本硕为哈工大毕业，发表此论文时在KoreaUniversity攻读博士学位。OMP每次只选择与残差相关最大的一个，而gOMP则是简单地选择最大的S个。之所以这里表述为“简单地选择”是相比于ROMP之类算法的，不进行任何其它处理，只是选择最大的S个而已。0、符号说明如下：压缩观测y=Φx，其中y为观测所得向量M×1，x为原信号N×1（MN）。x一般不是稀疏的，但在某个变换域Ψ是稀疏的，即x=Ψθ，其中θ为K稀疏的，即θ只有K个非零项。此时y=ΦΨθ，令A=ΦΨ，则y=Aθ。(1)y为观测所得向量，大小为M×1(2)x为原信号，大小为N×1(3)θ为K稀疏的，是信号在x在某变换域的稀疏表示(4)Φ称为观测矩阵、测量矩阵、测量基，大小为M×N(5)Ψ称为变换矩阵、变换基、稀疏矩阵、稀疏基、正交基字典矩阵，大小为N×N(6)A称为测度矩阵、传感矩阵、CS信息算子，大小为M×N上式中，一般有KMN，后面三个矩阵各个文献的叫法不一，以后我将Φ称为测量矩阵、将Ψ称为稀疏矩阵、将A称为传感矩阵。注意：这里的稀疏表示模型为x=Ψθ，所以传感矩阵A=ΦΨ；而有些文献中稀疏模型为θ=Ψx，而一般Ψ为Hermite矩阵(实矩阵时称为正交矩阵)，所以Ψ-1=ΨH(实矩阵时为Ψ-1=ΨT)，即x=ΨHθ，所以传感矩阵A=ΦΨH，例如沙威的OMP例程中就是如此。1、gOMP重构算法流程：2、广义正交匹配追踪(gOMP)MATLAB代码(CS_gOMP.m)本代码完全是为了保证和前面的各算法代法格式一致，可以直接使用该实验室网站提供的代码[2]压缩包中的islsp_EstgOMP.m。[plain]viewplaincopy1.function[theta]=CS_gOMP(y,A,K,S)2.%CS_gOMPSummaryofthisfunctiongoeshere3.%Version:1.0writtenbyjbb0523@2015-05-084.%Detailedexplanationgoeshere5.%y=Phi*x6.%x=Psi*theta7.%y=Phi*Psi*theta8.%令A=Phi*Psi,则y=A*theta9.%现在已知y和A，求theta10.%Reference:JianWang,SeokbeopKwon,ByonghyoShim.Generalized11.%orthogonalmatchingpursuit,IEEETransactionsonSignalProcessing,12.%vol.60,no.12,pp.6202-6216,Dec.2012.13.%Availableat:=round(max(K/4,1));16.end17.[y_rows,y_columns]=size(y);18.ify_rowsy_columns19.y=y';%yshouldbeacolumnvector20.end21.[M,N]=size(A);%传感矩阵A为M*N矩阵22.theta=zeros(N,1);%用来存储恢复的theta(列向量)23.Pos_theta=[];%用来迭代过程中存储A被选择的列序号24.r_n=y;%初始化残差(residual)为y25.forii=1:K%迭代K次，K为稀疏度26.product=A'*r_n;%传感矩阵A各列与残差的内积27.[val,pos]=sort(abs(product),'descend');%降序排列28.Sk=union(Pos_theta,pos(1:S));%选出最大的S个29.iflength(Sk)==length(Pos_theta)30.ifii==131.theta_ls=0;32.end33.break;34.end35.iflength(Sk)M36.ifii==137.theta_ls=0;38.end39.break;40.end41.At=A(:,Sk);%将A的这几列组成矩阵At42.%y=At*theta，以下求theta的最小二乘解(LeastSquare)43.theta_ls=(At'*At)^(-1)*At'*y;%最小二乘解44.%At*theta_ls是y在At)列空间上的正交投影45.r_n=y-At*theta_ls;%更新残差46.Pos_theta=Sk;47.ifnorm(r_n)1e-648.break;%quittheiteration49.end50.end51.theta(Pos_theta)=theta_ls;%恢复出的theta52.end3、gOMP单次重构测试代码(CS_Reconstuction_Test.m)以下测试代码基本与OMP单次重构测试代码一样。也可参考该实验室网站提供的代码[2]压缩包中的Test_gOMP.m。[plain]viewplaincopy1.%压缩感知重构算法测试2.clearall;closeall;clc;3.M=128;%观测值个数4.N=256;%信号x的长度5.K=30;%信号x的稀疏度6.Index_K=randperm(N);7.x=zeros(N,1);8.x(Index_K(1:K))=5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的9.Psi=eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta10.Phi=randn(M,N)/sqrt(M);%测量矩阵为高斯矩阵11.A=Phi*Psi;%传感矩阵12.y=Phi*x;%得到观测向量y13.%%恢复重构信号x14.tic15.theta=CS_gOMP(y,A,K);16.x_r=Psi*theta;%x=Psi*theta17.toc18.%%绘图19.figure;20.plot(x_r,'k.-');%绘出x的恢复信号21.holdon;22.plot(x,'r');%绘出原信号x23.holdoff;24.legend('Recovery','Original')25.fprintf('\n恢复残差：');26.norm(x_r-x)%恢复残差运行结果如下：（信号为随机生成，所以每次结果均不一样）1）图：2）CommandwindowsElapsedtimeis0.155937seconds.恢复残差：ans=2.3426e-0144、信号稀疏度K与重构成功概率关系曲线绘制例程代码以下测试代码为了与文献[1]的Fig.1作比较。由于暂未研究学习LP算法，所以相比于文献[1]的Fig.1)缺少LP算法曲线，加入了SP算法。以下测试代码与SAMP相应的测试代码基本一致，可以合并在一起运行，只须在主循环内多加几种算法重构就行。[plain]viewplaincopy1.%压缩感知重构算法测试CS_Reconstuction_KtoPercentagegOMP.m2.%绘制参考文献中的Fig.13.%Reference:JianWang,SeokbeopKwon,ByonghyoShim.Generalized4.%orthogonalmatchingpursuit,IEEETransactionsonSignalProcessing,5.%vol.60,no.12,pp.6202-6216,Dec.2012.6.%Availableat:(@20150509pm)8.clearall;closeall;clc;9.%%参数配置初始化10.CNT=1000;%对于每组(K,M,N)，重复迭代次数11.N=256;%信号x的长度12.Psi=eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta13.M_set=[128];%测量值集合14.KIND=['OMP';'ROMP';'StOMP';'SP';'CoSaMP';...15.'gOMP(s=3)';'gOMP(s=6)';'gOMP(s=9)'];16.Percentage=zeros(N,length(M_set),size(KIND,1));%存储恢复成功概率17.%%主循环，遍历每组(K,M,N)18.tic19.formm=1:length(M_set)20.M=M_set(mm);%本次测量值个数21.K_set=5:5:70;%信号x的稀疏度K没必要全部遍历，每隔5测试一个就可以了22.%存储此测量值M下不同K的恢复成功概率23.PercentageM=zeros(size(KIND,1),length(K_set));24.forkk=1:length(K_set)25.K=K_set(kk);%本次信号x的稀疏度K26.P=zeros(1,size(KIND,1));27.fprintf('M=%d,K=%d\n',M,K);28.forcnt=1:CNT%每个观测值个数均运行CNT次29.Index_K=randperm(N);30.x=zeros(N,1);31.x(Index_K(1:K))=5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的32.Phi=randn(M,N)/sqrt(M);%测量矩阵为高斯矩阵33.A=Phi*Psi;%传感矩阵34.y=Phi*x;%得到观测向量y35.%(1)OMP36.theta=CS_OMP(y,A,K);%恢复重构信号theta37.x_r=Psi*theta;%x=Psi*theta38.ifnorm(x_r-x)1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功39.P(1)=P(1)+1;40.end41.%(2)ROMP42.theta=CS_ROMP(y,A,K);%恢复重构信号theta43.x_r=Psi*theta;%x=Psi*theta44.ifnorm(x_r-x)1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功45.P(2)=P(2)+1;46.end47.%(3)StOMP48.theta=CS_StOMP(y,A);%恢复重构信号theta49.x_r=Psi*theta;%x=Psi*theta50.ifnorm(x_r-x)1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功51.P(3)=P(3)+1;52.end53.%(4)SP54.theta=CS_SP(y,A,K);%恢复重构信号theta55.x_r=Psi*theta;%x=Psi*theta56.ifnorm(x_r-x)1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功57.P(4)=P(4)+1;58.end59.%(5)CoSaMP60.theta=CS_CoSaMP(y,A,K);%恢复重构信号theta61.x_r=Psi*theta;%x=Psi*theta62.ifnorm(x_r-x)1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功63.P(5)=P(5)+1;64.end65.%(6)gOMP,S=366.theta=CS_gOMP(y,A,K,3);%恢复重构信号theta67.x_r=Psi*theta;%x=Psi*theta68.ifnorm(x_r-x)1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功69.P(6)=P(6)+1;70.end71.%(7)gOMP,S=672.theta=CS_gOMP(y,A,K,6);%恢复重构信号theta73.x_r=Psi*theta;%x=Psi*theta74.ifnorm(x_r-x)1e-6%如果残差小