贵州省凯里市第一中学2016届高三数学一轮总复习 专题九 不等式(含解析)

1专题九、不等式抓住4个高考重点重点1不等式性质的应用1.不等式性质的应用策略（1）应用不等式性质时必须弄清楚前提条件；（2）“不等式取倒数”的性质：11,0ababab2.利用性质求数（式）的取值范围的方法应用不等式的性质求多个变量线性组合的范围问题时，由于变量间相互制约，在“取等号”的条件上会有所不同，故解此类问题要特别小心.一般来说，可采用整体换元或待定系数法解决.3.比较实数大小的方法（1）作差比较法（2）作商比较法[高考常考角度]角度1下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要条件是（A）A.1abB.1abC.22abD.33ab解析：选择项为条件，即寻找命题p使pab且ab推不出p，逐项验证可选A角度2设实数,xy满足2238,49,xxyy则34xy的最大值是解析：考查不等式的基本性质，等价转化思想。由已知得22()[16,81]xy，2111[,]83xy，322421()[2,27]xxyyxy，34xy的最大值是27.重点2一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式20(0)axbxca或20(0)axbxca的解法2.分式不等式的解法3.高次不等式的解法4.含参数不等式的解法[高考常考角度]角度1不等式2210xx的解集是（D）A．1(,1)2B．(1,)C．(,1)(2,)D．1(,)(1,)2解析：21210(1)(21)02xxxxx或1x，则不等式的解集为1(,)(1,)2,故选D角度2已知函数21,0()1,0xxfxx,则满足不等式2(1)(2)fxfx的x的范围是_____________.解析：本题以分段函数为载体，考查分段函数的单调性，以及一元二次不等式的解法由题意有221020xx或21220xxx解得10x或021x，综合得(1,21)x角度3已知函数2()1,()43,xfxegxxx若有()(),fagb则b的取值范围为（B）A．[22,22]B．(22,22)C．[1,3]D．(1,3)解析：由题可知()11xfxe，22()43(2)11gxxxx，若有()(),fagb则()(1,1]gb，即2431bb，解得2222b。角度4若关于x的不等式22(21)xax的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是_____2549(,]916_____解析：原不等式可化为2(4)410axx①原不等式解集中的整数恰有3个，须有4004164(4)0aaa，又由①得1122xaa又111422a，所以解集中的3个整数必为1,2,3，所以1342a，解得2549916a角度5已知函数32()1fxxaxx，aR．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设函数()fx在区间21()33，内是减函数，求a的取值范围．解：（Ⅰ）由32()1fxxaxx得2()321fxxax224434(3)aa当33a时，0，有()0fx，()fx在R上递增当3a或3a时，由()0fx得233aax由23()03aafxx或233aax由2233()033aaaafxx()fx在23()3aa，和23()3aa，递增，在2233()33aaaa，递减，（Ⅱ）若函数()fx在区间21()33，内是减函数，则有()0fx在区间21()33，恒成立3只需22222()03()2()10333111()03()2()10333fafa7242aaaa的取值范围是[2,)重点3简单的线性规划问题1.正确作出二元一次不等式（组）表示的区域2.简单的线性规划问题的求解策略[高考常考角度]角度1已知,,xyz满足202305350yxxyxy，则符合条件的整点可行解有___4___个.解：画出可行域，满足条件的可行域中的整数点为(1,1),(2,2),(0,0),(0,1)角度2已知O是坐标原点，点(1,1)A，若点(,)Mxy为平面区域212xyxy，上的一个动点，则OAOM的取值范围是A.[1,0]B.[0,1]C.[0,2]D.[1,2]解析：画出可行域，OAOMzxy，可知z在点(1,1)A、(0,2)B取分别取到最小值0、最大值2。故选择C。角度3已知0a,,xy满足约束条件13(3)xxyyax,若2zxy的最小值为1，则a()A.14B.12C.1D.2解析：作出可行域，目标函数2zxy在(1,2)Aa处取得最小值，于是221a，解得a12。故选B(1,1)(1,2)21BAOyxCy=2xOyxy=a(x-3)x+y=3x=13BAC4角度4.已知变量xy，满足约束条件20170xyxxy，则yx的取值范围是（A）A.9[6]5，B.9(][6)5，，C.(3][6)，，D.[36]，解：画出可行域，yx可视为原点与区域内任一点连线的斜率，得599(,),(1,6),6225yABx角度5.已知实数,xy满足线性约束条件752307110,4100xyxyxy则22xy的取值范围是[0,37]解：画出可行域，其中(4,1),(1,6),(3,2)ABC，22Mxy可以视为可行域中的动点(,)Pxy到坐标系原点的距离的平方，则22minmax0,(1)(6)37MM重点4基本不等式1.基本不等式，均值不等式2.利用不等式求最值[高考常考角度]角度1已知0,0,2abab，则14yab的最小值是（）A.72B.4C.92D.5解析：141452529()()22222222abababababbaba，当且仅当22abba，即24,33ab时，等号成立，故选择C。角度2若对任意0x，231xaxx恒成立，则实数a的取值范围是1[,)5.解析：因为0x，所以12xx（当且仅当1x时等号成立），则21111312353xxxxx=，即231xxx的最大值为15，故15a.突破3个高考难点难点1不等式恒成立问题的求解51.恒成立问题若不等式()fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上min()fxA。若不等式()fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上max()fxB。典例1当[0,1]x时，不等式9(4)340xxa恒成立，则a的取值范围是___(,9]______解析：设3xt，则2[1,3]t，设2()(4)4fttat，则原不等式恒成立，即函数()0ft在[1,3]上恒成立9(1)01440,925(3)09123403afaafaa典例2若不等式2211)xmx（对满足22m的所有m都成立，则x的取值范围是_1713(,)22__解析：将原不等式化为2(1)(21)0mxx，令2()(1)(21)fmxmx，则22m时，()0fm恒成立，只须22(2)0(1)(2)(21)0(2)0(1)2(21)0fxxfxx解得171322x典例3若不等式1()()16mxyxy对任意的x、y恒成立，则正实数m的最小值为（）A.1B.4C.9D.14解析:1()()11216myxmxymmmxyxy∴2(1)16149mmm，故选择C难点2线性规划中参变量问题的求解典例设1m，在约束条件1yxymxxy下，目标函数zxmy的最大值小于2，则m的取值范围为（A）A．(1,12)B．(12,)C．(1,3)D．(3,)解析：画出可行域，可知zxmy在点1(,)11mAmm取最大值，由21211mmm解得121m。故选择A难点3不等式的综合运用典例1已知正数,xy满足1xy，则11()()xyxy的最小值为__________6解析:2221111()212()()()()2yxxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy令txy，由1,,204xyRxyxyxy，当且仅当12xy取等号，1(0,]4t设21()2,(0,]4ftttt，则22()1ftt，由()02ftt，而124所以函数()ft在1(0,]4上递减，故min125()()44ftf点评：21()2,(0,]4ftttt的单调性也可以由“对钩函数”图象获得规避3个易失分点易失分点1忽视基本不等式应用条件典例函数1(1)1yxxx的值域是____________解析：误解：1112131yxx，当且仅当111xx即2x时取等号，故值域为[3,)原因：1x，应当有10x和10x两种情况.正解：当1x时，1112131yxx，当且仅当111xx即2x时取等号当1x时，111211,11yxyx，当且仅当111xx即0x时取等号综上，原函数的值域为(,1][3,)方法二：令1111|||1||1|2,211|1|uxuxxuxxx或2u，而1yu故1y或3y，原函数的值域为(,1][3,)易失分点2线性规划问题寻找最优整点解方法不当典例已知,xyZ，且满足约束条件10,2,27.xyxyx则23zxy的最小值是（C）A.232B.13C.14D.24xy2x＋3y＝0x＋y＝102x＝7x－y＝2BAOC7解析：画出可行域，如图所示，易得(6,4)B，且当直线23zxy过点B时z取最大值，此时24z，点73(,)22C，过点C时取得最小值，732323222z为最小值但,xy都是整数，最接近的整数解为(4,2)，故所求的最小值为14，故选B点评：整数解是否为(4,2)，代入约束条件验证可知.易失分点3平面区域不明典例在直角坐标系xOy中，若不等式组02(1)1yyxykx表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是____________解析：(1)1ykx过定点(1,1)，如图（1）所示，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y轴的交点必须在原点上方，(,1)k时，可构成三角形区域；如图（2）所示，当这条直线的斜率为正值时，(1)1ykx所表示的是直线及其下方的半平面，此时不能构成三角形区域；当这条直线斜率为0时，构不成平面区域。因此k的取值范围是(,1)点评：如果不加分析，会误认为直线(1)1ykx的斜率为正值时，三条直线仍能够构成三角形区域.这样的结果是(,1)(0,2)(2,)