2015工程随机数学(A)试卷及答案

武汉大学2015—2016学年度第一学期《工程随机数学》试卷（A）电子信息学院专业班学号姓名分数1.（本题10分）将a，b，c三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为p，而输出为其他一字母的概率都是(1-p)/2，今将字母串aaaa,bbbb,cccc之一输入信道，三者输入的概率分别为p1,p2,p3(p1+p2+p3=1)，已知输出为abcb，问输入的是aaaa的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的。）解：以A，B，C分别表示事件“输入aaaa”，“输入bbbb”，“输入cccc”，以D表示事件“输出abcb”。由全概率公式和贝叶斯公式有1123()(|)(|)()(|)(|)(|)PADPDApPADPDPDApPDBpPDCp这里31(|)()2pPDAp，221(|)()2pPDBp，31(|)()2pPDCp带入上式31322312311221321()2(|)111()()()222(1)2131pppPADppppppppppppppppppppp2.（本题10分）设随机变量~(0,1)XU。（1）求221YX的概率密度。（2）求(),()DxDy解：（1）由于2211YX，故当1y时，()0Yfy.当1y时，211()()(21)()()22YXyyFyPYyPXyPXF两边关于y求导得12,1112()()412410,YXyyfyfyyelse3.（本题15分）二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为2,01(,)0,.cxyxyfxyelse（1）确定常数c；（2）分析并判断X和Y是否相互独立？（3）求ZXY的概率密度。解：（1）由于区域积分=1得15c112240001,11,153yccxydxdycxydxdyydyc，得(2)122224015()15()1552yXYxfxxydyxxfyxydxy(1-)，显然(,)()()XYfxyfxfy(3)2405()(,)15()4zXYfzfxzxdxxzxdxz4.（本题15分）某复杂系统由100个相互独立的部件所组成，在运行期间每个部件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率？（,5987.0)25.0(,6915.0)5.0(,8413.0)0.1(,9332.0)5.1(9525.0)67.1(,,9772.0)0.2(,9938.0)5.2(9987.0)3(）解：(1)此为100重贝努利事件，~(100,0.9)Xb，求概率(85)PX，由定理知1000.91000.90.1X近似服从标准正态分布。90859090555(85){}{}1()()0.9525333999XXPXPP5..（本题10分）设是取自正态总体的简单随机样本，且解：由921,...,,XXX是取自正态总体X的简单随机样本，即9212,...,),,(~XXXNX相互独立，),(~2NXi，即2)(,)(iiXDXE因而972611)(31)(,)(61)(iiiiYEYEXEYE即,31)(91)31()(,61)(361)61()(,0)()()(2979722616112121iiiiiiiiXDXDYDXDXDYDYEYEYYE且,213161)()()(2222121YDYDYYD因而)2,0(~221NYY即)1,0(~221NYY922112627892712111(...),(),(),6322(),iiYXXXYXXXSXYYYZZS试问统计量服从什么分布？129,,...,XXX时）（可知）（，）时（97i22i2222n1ii21),1-n(~1-n1-n1YXSSXXS)2(~2222S由1Y,2Y及2S均是1X，2X，...，9X的函数且1X，2X，...，9X相互独立，可知1Y，1Y及2S也相互独立，进而21YY与2S也相互独立。又)1,0(~221NYY，)2(~2222S可知)2(~)(2222212221tSYYSYY，即)2(~tZ6.（本题10分）设1X，2X，...，nX为总体的一个样本，1x，2x，...，nx为一相应的样本值。求下面总体函数未知参数的矩估计量和最大似然估计值。其他,0,)()1(cxxcxf其中0c为已知参数，1，为未知参数。解：(1)求一个未知参数的矩估计量首先求总体X的数学期望，然后令总体数学期望等于样本均值，解方程，得未知参数的矩估计量。1)1(|)11()(11)1(cccxcdxxcdxxcxXEccC对样本的一组观察值1x，2x，...，nx，得样本均值x。令xc1，解得cxx，即为的矩估计值那么cXX为的矩估计量。其中niiXnX11是随机变量，表示对样本的不同观察值，它的取值不同，所以cXX是随机变量。(2)对样本的一组观察值1x，2x，...，nx，似然函数为)1(11)1()()(niinnniixcxcL)(cxi两边去对数niixcnnL1ln)1(lnln)(ln对求倒数0lnln)(ln1niixcnndL得的最大似然估计值为niicnxn1lnln的最大似然估计量为niicnXn1lnln7.（本题15分）已知总体，未知，是总体的一个样本（1）就是否大于已知数0，求假设检验的拒绝域，显著性水平为；（2）若样本容量为20，样本均值等于3100，样本标准差等于170，等于0.01，判断0=3000是否成立？0.005(19)2.861t，0.01(18)2.552t，0.005(18)2.878t，0.01(19)2.54t，851.32)19(025.02解：（1）以其无偏估计——样本标准差S代替，则设H0成立，由t分布可构造小概率事件由此可得拒绝域为（2），8.（本题15分）设（1）证明为平稳随机序列；（2）求该平稳随机序列的功率谱密度。解：（1）（2）该平稳序列的相关函数可表示为则由维纳-辛钦定理，其功率谱密度为