角动量定理天体运动

§1角动量定理1.1质点角动量定理质点的运动状态：),(vrrdFvvmddtFvmd)21()(相对某参考点的转动：相对某参考点的位置矢量r速度vrv转动1惯性系S中的一个运动质点在运动过程中相对某参考点O的径矢r会相应的旋转在dt时间质点位移为vdt，转过角度dθr便会扫过面积dSdtvrdS21面积速度vrdtdS21)(trdtv)(dttrdO动量定理动量速度角动量定理角动量面积速度2质点在S系中相对参考点O的角动量LprvmrL角动量随时间的变化与什么有关呢？dtpdrpdtrddtprddtLd)(其中Fdtpdpvpdtrd,0FrdtLdrpL3质点所受力相对参考点O的力矩FrM质点角动量定理：质点所受力相对某参考点的力矩等于质点相对该参考点角动量的变化率。dtLdM处理转动的所有公式都是从这个公式导出4h力矩FhrFMsin力臂h：点O到力F作用线的距离。在直角坐标系中，M可用行列式表述成zyxFzkFyjFxiFrM它的三个分量：,xyzyFxFMrF5质点所受各分力Fi相对同一参考点的力矩之和，等于合力F相对该参考点的力矩。MFrFrFrMiiiiii两质点之间一对作用力与反作用力相对于同一参考点力矩之和必为零。0)(22121222212211FrFrrFrFrFrFr1r2r21r1F2F126若过程中M恒为零，则过程中L为守恒量若过程中Mz恒为零，则过程中Lz为守恒量常矢量LM0有心力：质点所受力F若始终指向一个固定点O，O为力心。常量zzLM07例1相对不同参考点A、B，计算重力矩和角动量ABvgm1d2d参考点A：重力矩1mgdM角动量0L参考点B：重力矩1mgdM角动量2mvdL8例2匀速圆周运动OO选择圆心O为参考点力矩0M角动量mvRLR心Fv⊙其它任何点则没有这种情况角动量守恒9例3地球绕太阳公转选择太阳为参考点万有引力的力矩为零CLM010例4OO圆锥摆如图，摆线长l，小球质量m，取悬挂点O为参考点，求摆球所受力矩和摆球角动量。lTgm摆球受张力和重力张力对O点力矩为零摆球所受力矩sinmglM⊙摆球角动量mvlL方向如图L选另一参考点O11例5OlTgm⊙zdtdmlmlvLmglMzz2sin导出单摆的摆动方程力矩和角动量都只有z轴分量采用小角度近似sinlgdtd22利用角动量定理12例6OA0v0rT小球绕O作圆周运动，如图所示。（1）求B端所受竖直向下的外力T0（2）T0极缓慢增到2T0，求v（3）用功的定义式求拉力所作的功。B分析物理过程以O为参考点，力矩为零，角动量守恒。T0极缓慢增大，径向速度可略，中间过程近似为圆周运动。13OA0v0rTB解（1）0200rvmT（2）角动量守恒00rmvmvr圆周运动0200222rmvTrmv30032,2rrvv14（3）拉动过程中，小球作螺旋线运动TdrrdTdW320202rrmvrmvT)14(213202/32020300mvdrrrmvWrr它恰好等于小球的动能增量)14(212121320202mvmvmvEk151.2质点系角动量定理角动量守恒定律在惯性系S中，质点系相对O点的角动量LiiLL0内M质点系角动量定理：质点系各质点所受外力相对同一参考点的力矩之和等于质点系相对于该参考点角动量随时间的变化率。dtLdM外16质点系角动量守恒定律若过程中M外恒为零，则过程中L为守恒量。若过程中M外x（或M外y，M外z）恒为零，则过程中Lx（或Ly，或Lz）为守恒量。非惯性系中质点系的角动量定理dtLdMM外惯17例7llh1m2m质量可略、长2l的跷跷板静坐着两少年，左重右轻，左端少年用脚蹬地，获得顺时针方向角速度ω0。求ω0至少多大时，右端少年可着地？zO力矩coscos21glmglmMz系统角动量221)(lmmLz18角动量定理ddlmmdtdlmmdtdLMzz221221)()(积分022121000)()(cos)(dlmmdglmmlh0sin2022121)(21)(2lmmghmm此即机械能守恒21210)(2mmghmml19例8水平大圆盘绕中心竖直轴以角速度ω旋转，质量m的小球从中心出发，沿阿基米德螺线运动，角动量L守恒。试求小球所受真实力的横向分量和径向分量。阿基米德螺线rO角动量L守恒dtdmrL2⊙ωm22,rmLdtddtdrrmLdtd20522222522222,2rmLdtrdrmLdtd圆盘系中小球所受合力vmrmF22合力的横向分量合力的径向分量rmvF2mvmrFr22角动量L守恒，横向力为零222LrmvFr径向力应合成mar3222122222)21(22rrmLrLmrmvmrdtdrdtrdmFr211.3外力矩重心对称球的外引力分布中心外力矩是质点系角动量变化的原因合力为零的外力矩质点系所受外力的合力为零时，外力矩与参考点无关。OOR外外MFRFrFRrMiiiiiiii)(iririF22一对力偶大小相同、方向相反且不在同一直线上的两个力221112FrFrM力偶的力矩不依赖于参考点的选择121F2F21r12r23重心位于rG的几何点称为质点系的重心mrmriiiG质量均匀分布，几何结构具有对称性的物体，重心位于其几何中心24质点系各质点重力的冲量和等于质点系重力的冲量质点系各质点重力作功之和等于质点系重力作用于重心处所作的功Giiiiiiiiirdgmrmdgrdmgrdgm)(重力势能Giiiiiimghghmghm重力的力矩gmrgrmgrmgmrGGiiiiii)(重心是质点系重力分布中心猫的空中转体25对称球的外引力分布中心P球心是对称球的外引力分布中心26例9质量M的均匀麦管放在光滑桌面上，一半在桌面外。质量m的小虫停在左端，而后爬到右端。随即另一小虫轻轻地落在该端，麦管并未倾倒，试求第二个小虫的质量。麦管长L，小虫相对麦管速度u，麦管相对桌面左行速度v系统动量守恒Mvvum)(麦管移入桌面长度LmMmudtmMmvdtxtt0027分两种情况讨论：（1）2,LxmM麦管全部进入桌面，第二个小虫可取任何值。（2）2,LxmM麦管和二个小虫相对桌边的重力矩应该满足MgxxLgmm2)(mmMmMm28§2对称性与守恒律2.1对称性29德国数学家魏尔（H.Weyl）对称性：系统在某种变换下具有的不变性。例左右对称，上下对称，也称镜面对称30空间变换对称性xOzy系统相对点、线、面的变换31镜面反演对称性镜面反演：对平面直角坐标系，仅取x到-x（或y到-y，或z到-z）的变换。一个系统若在镜面反演变换下保持不变，则称这一系统具有镜面反演对称性。3233空间平移对称性系统在空间平移，即在)(为常矢量RRrr变换下具有的不变性。34轴转动对称性（轴对称性）系统在绕着某直线轴作任意角度旋转的变换下具有的不变性。35空间反演对称性（点对称性）系统在空间反演，即在),,(zzyyxxrr变换下具有的不变性。36点转动对称性（球对称性）系统在绕着某点作任意旋转的变换下具有的不变性。RR电场强度半径均匀带电球体相对球心具有球对称性，它的空间场强分布也具有此种对称性。37时间变换对称性一维的时间只能改变方向和平移，所以只有两种变换：时间反演对称性时间平移对称性tt0ttt38时间反演对称性dtdttt时间反演即时间倒流vvdtrdv,FFaadtvda,,)(trdtv)(dttrdO过去未来过去未来1239牛顿第二定律具有时间反演对称性经典力学中，与牛顿第二定律平行的是力的结构性定律胡克定律、引力定律、库仑定律具有时间反演对称性阻尼性作用定律给出的空气阻力、摩擦力等不具有时间反演对称性时间倒流在真实世界是不可能发生的vf40时间平移对称性系统在时间平移，即在变换下具有的不变性。0ttt牛顿第二定律和力的结构性定律都具有时间平移对称性自然界中除了与时空变换有关的对称性以外，还有其它的对称性，物理学的后续课程中将会讨论。41§2.2对称性原理2202210122221121212121vmvmvmvm211012012221202102112)(,2)(mmvmvmmvmmvmvmmv具有相同对称性果对称性置具有下因因果对称关联:换21,标:42法国物理学家皮埃尔.居里（Pierre.Curie）在1894年指出对称性原理因中若有某种对称性，果中也有此种对称性，因果间的这种对称性是普遍存在的。43§2.3对称性与守恒律EmmyNoether(1882-1935)诺特最伟大的女数学家44诺特定理：论证了对称性与守恒律之间存在的普遍联系连续变换的对称性都对应一条守恒定律时间平移对称性能量守恒定律空间转动对称性角动量守恒定律空间平移对称性动量守恒定律45小结角动量守恒定律角动量定理机械能守恒定律动能定理动量守恒定律动量定理牛顿定律惯性系非惯性系惯性力真实力质点质点系我们周围的世界46§3天体运动太阳系中太阳是质量最大的天体，行星中质量最大的木星35.1047太木Mm太阳近似处理成不动的质点，行星运动由太阳引力支配。卫星距大行星很近，围绕着行星的运动由行星引力支配。单体问题两体问题多体问题47§3.1天体运动天体运动的开普勒三定律第一定律（轨道定律）：行星围绕太阳的运动轨道为椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。第三定律（周期定律）：各行星椭圆轨道半长轴A的三次方与轨道运动周期T的二次方之比值为相同的常量，即kTA2348牛顿力学结合万有引力定律推导天体运动的开普勒三定律极坐标系角动量守恒能量守恒49太阳质量记为M，待考察的行星质量记为m，某时刻M至m的径矢r和m的速度v。建立极坐标系在径矢r和速度v确定的平面上，建立以M为原点的极坐标系。MmrvFvvrddrdtdrvdtdrvrr,50利用角动量L和能量E守恒ErMmGvvmLmrvr)(2122首先可得到角向速度和径向速度mrLv222mrLrMGmEvr51行星轨道方案1：参数方程)()(ttrr方案2：轨道方程)(rr52确定轨道方程22232222222222212122LGMmrmMGELLGMmrrmLrMGmELmrddr引入参量32222221,mMGELGMmLp5322211/prprdrd作变量代换pru112rdrdu22/updud积分后可得0a