解析几何,吕林根,课后习题解答一到五

第一章矢量与坐标§1.1矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.解：2.设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量OA、OB、OC、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、EF和FA中，哪些矢量是相等的？[解]：图1-13.设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM.当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：.4.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1)AB、CD;(2)AE、CG;(3)AC、EG;(4)AD、GF;(5)BE、CH.解：图1—3O§1.2矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量ba,应满足什么条件？（1）;baba（2）;baba（3）;baba（4）;baba（5）.baba解：§1.3数量乘矢量1试解下列各题．⑴化简)()()()(bayxbayx．⑵已知3212eeea，321223eeeb，求ba，ba和ba23．⑶从矢量方程组byxayx3243，解出矢量x，y．解：2已知四边形ABCD中，caAB2，cbaCD865，对角线AC、BD的中点分别为E、F，求EF．解：3设baAB5，baBC82，)(3baCD，证明：A、B、D三点共线．解：4在四边形ABCD中，baAB2，baBC4，baCD35，证明ABCD为梯形．解：6.设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL,BM,CN可以构成一个三角形.7.设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明OBOA+OC=OL+OM+ON.解：8.如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明OA+OB+OC+OD＝4OM.解：9在平行六面体ABCDEFGH（参看第一节第4题图）中，证明AGAHAFAC2．证明：．10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．解11.用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.解图1-412.设点O是平面上正多边形A1A2…An的中心，证明:1OA+2OA+…+nOA＝0.解,13．在12题的条件下，设P是任意点，证明证明：§1.4矢量的线性关系与矢量的分解1．在平行四边形ABCD中，（1）设对角线,,bBDaAZ求.,,,DACDBCAB解（2）设边BC和CD的中点M和N，且qANPAM,求CDBC,。2．在平行六面体ABCD-EFGH中，设,,,321eAEeADeAB三个面上对角线矢量设为,,,rAFqAHpAC试把矢量rqpa写成321,,eee的线性组合。解：3.设一直线上三点A,B,P满足AP＝PB(－1),O是空间任意一点，求证：OP＝1OBOA解：图1-74.在ABC中,设,1eAB2eAC.(1)设ED、是边BC三等分点,将矢量AEAD,分解为21,ee的线性组合;（2）设AT是角A的平分线(它与BC交于T点),将AT分解为21,ee的线性组合解：5．在四面体OABC中，设点G是ABC的重心（三中线之交点），求矢量OG对于矢量OCOBOA,,,的分解式。解6．用矢量法证明以下各题（1）三角形三中线共点证明：7．已知矢量ba,不共线，问bac2与bad23是否线性相关？解：8.证明三个矢量a＝－1e+32e+23e,b＝41e－62e+23e，c＝－31e+122e＋113e共面，其中a能否用b,c线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.[证明]：9．证明三个矢量accbba,,共面。证明：§1.5标架与坐标3.在空间直角坐标系{O;kji,,}下，求P(2,－3,－1)，M(a,b,c)关于(1)坐标平面；(2)坐标轴；(3)坐标原点的各个对称点的坐标.[解]：8.已知矢量a,b,c的分量如下：(1)a＝{0,－1,2}，b＝{0,2,－4}，c＝{1,2,－1}；(2)a＝{1,2,3}，b＝{2,－1,0}，c＝{0,5,6}.试判别它们是否共面？能否将c表成a，b的线性组合？若能表示，写出表示式.[解]:7．已知A,B,C三点坐标如下：（1）在标架21,;eeO下，.4,2,2,2,1,0CBA（2）在标架321,,;eeeO下，4,3,2,2,0,1,0,1,0CBA判别它们是否共线？若共线，写出AB和AC的线形关系式.解：9.已知线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A与B的坐标.解：10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍.用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.[证明],,§1.6矢量在轴上的射影1．已知矢量AB与单位矢量e的夹角为150，且10AB，求射影矢量ABe与射影ABe，又如果ee，求射影矢量ABe与射影ABe.解：2试证明：射影l(1a2a+…+nna)＝1射影l1a+2射影l2a+…+n射影lna.[证明]§1.7两矢量的数性积1．证明：（1）矢量a垂直于矢量()abc()acb；（2）在平面上如果1m2m，且aim＝bim(i=1,2)，则有a＝b.证明：2．已知矢量ba,互相垂直，矢量c与ba,的夹角都是60，且3,2,1cba计算：22)2)(4();3).(23)(3();)()(2(;))(1(cbacbbabababa[解]：3.计算下列各题.（1）已知等边△ABC的边长为1,且BCa,CAb,,ABC求abbcca；(2)已知,,abc两两垂直,且1,a2,b3,c求rabc的长和它与,,abc的夹角.(3)已知3ab与75ab垂直，求,ab的夹角.(4)已知2,a5,b2(,),3ab3,pab17.qab问系数取何值时p与q垂直？解4.用矢量法证明以下各题：(1)三角形的余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA;(2)三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.证明：5已知平行四边形以a﹛1，2，-1﹜，b﹛1，-2，1﹜为两边(1)求它的边长和内角(2)求它的两对角线的长和夹角解：6已知△ABC的三顶点(0,0,3),A(4,0,0),B(0,8,3)C试求：(1)△三边长(2)△三内角(3)三中线长(4)角A的角平分线矢量AD（中点在BC边上），并求AD的方向余弦和单位矢量解：§1.8两矢量的失性1.已知1a,5,b3.ab试求:(1)ab(2)2()()abab(3)2(2)(2)abba图1-11解:2.证明：（1）(ab)2≤a2b2，并说明在什么情形下等号成立.（2）如果a+b+c＝0，那么ab＝bc＝ca，并说明它的几何意义.(3)如果abcd,acbd.那么ad与bc共线.(4)如果,apn,bqn,crn那么,,,abc共面.证明:3.如果非零矢量ir(i＝1,2,3)满足321rrr，2r＝3r1r，3r＝1r2r，那么1r,2r,3r是彼此垂直的单位矢量，并且按这次序构成右手系.[证明]：4.已知:2,3,1a,1,2,3,b求与a,b都垂直,且满足下列条件的矢量c:(1)c为单位矢量(2)10cd,其中d2,1,7.解:5.在直角坐标系内已知三点(5,1,1),A(0,4,3),B(1,3,7)C,试求:(1)三角形ABC的面积(2)三角形ABC的三条高的长.解:6.已知:2,3,1,a5,6,4b,试求:(1)以,ab为边的平行四边形的面积.(2)这平行四边形的两条高的长.解:7.用矢量方法证明：（1）三角形的正弦定理Aasin＝Bbsin＝Ccsin.（2）三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式：2＝p(p－a)(p－b)(p－c).式中p＝21(a+b+c)是三角形的半周长，为三角形的面积.[证明]：§1.9三矢量的混合积1.设a,b,c为三个非零矢量，证明(3)(a,b,c+a+b)=(a,b,c);(4)(a＋b,b＋c,c＋a)=2(a,b,c).[证明]：2．设径矢1rOA,2rOB,3rOC,证明R＝(21rr)＋(32rr)＋(13rr)垂直于ABC平面.[证明]:3．u=11ea+21eb+31ec,12eav+22eb+32ec,w=13ea+23eb+33ec,试证明(wvu,,)=333222111cbacbacba(1e,2e,3e).[证明]4.已知直角坐标系内矢量,,abc的分量,判别这些矢量是否共面?如果不共面,求出以它们为三邻边作成的平行六面体体积.(1)3,4,5a,1,2,2b,9,14,16c.(2)3,0,1a,2,4,3b,1,2,2c.解:5.已知直角坐标系内DC,,,四点坐标,判别它们是否共面?如果不共面,求以它们为顶点的四面体体积和从顶点D所引出的高的长.⑴17,14,10,3,2,2,6,4,4,1,0,1DCBA;⑵8,4,5,7,3,6,2,1,4,1,3,2DCBA.解:§1.10三矢量的双重矢性积1.在直角坐标系内,已知,1,2,1,0,2,1,1,0,1cba求cba和cba解2.证明对于任意矢量4,3,2,1iri下式成立:4321rrrr2431rrrr03241rrrr证3.证明daba=adba证4.证明fedcba,,=dbafeccbafed证5.证明cba,,共面的充要条件是cb,ac,ba共面.证6.对于任意矢量dcba,,,,证明adcbbadccbad0dcba证第二章轨迹与方程§2.1平面曲线的方程1.一动点M到A)0,3(的距离恒等于它到点)0,6(B的距离一半，求此动点M的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？解：2.有一长度为a2a(＞0）的线段，它的两端点分别在x轴正半轴与y轴的正半轴上移动，是求此线段中点的轨迹。A，B为两端点，M为此线段的中点。解：3.一动点到两定点的距离的乘积等于定值2m,求此动点的轨迹.解:4.设,,PQR是等轴双曲线上任意三点,求证PQR的重心H必在同一等轴双曲线上.证明:5.任何一圆交等轴双曲线2xyc于四点11(,)cPctt,22(,)cQctt,33(,)cRctt及44(,)cSctt.那么一定有12341tttt.证明:8.把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程.⑴32xy;⑵0,212121aayx;⑶0,0333