解析几何存在性问题

1解析几何----存在性问题1..已知双曲线方程2222.xy(1)求以(2,1)A为中点的双曲线的弦所在直线方程；(2)过点(1,1)B能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．2.设0b，椭圆方程为222212xybb，抛物线方程为28()xyb．过点(02)Fb，作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点1F．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设AB，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得ABP△为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．3.．已知平面上一定点(4,0)C和一定直线:1lx，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(PC→＋2PQ→)·(PC→－2PQ→)＝0.(1)问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；(2)设直线1ykx与(1)中的曲线交于不同的两点A，B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点(0,2)D？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．24..如图，已知椭圆的中心为原点O，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点(2,1)M，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0，－2m2)．(1)求椭圆的方程．(2)求证：直线l与椭圆有两个交点．(3)设l交椭圆有两个交点为A、B，直线MA、MB与x轴围成的三角形是等腰三角形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．5.设1F、2F分别是椭圆22154xy+=的左、右焦点.（1）若P是该椭圆上的一个动点，求21PFPF的最大值和最小值；（2）是否存在过点(5,0)A的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得22FCFD？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.3解析几何----存在性问题1.已知双曲线方程2x2－y2＝2.(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；(2)过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解：(1)即设)1,2(A的中点弦两端点为),(),,(222111yxPyxP，则有关系2,42121yyxx．又据对称性知21xx，所以2121xxyy是中点弦21PP所在直线的斜率，由1P、2P在双曲线上，则有关系22,2222222121yxyx．两式相减是：0))(())((221212121yyyyxxxx∴0)(2)(422121yyxx∴42121xxyy所求中点弦所在直线为)2(41xy，即074yx．(2)可假定直线l存在，而求出l的方程为)1(21xy，即012yx方法同(1)，联立方程0122222yxyx，消去y,得03422xx然而方程的判别式08324)4(2，无实根，因此直线l与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l不存在．2设0b，椭圆方程为222212xybb，抛物线方程为28()xyb．过点(02)Fb，作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点1F．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设AB，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得ABP△为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．解析：（1）由28()xyb得218yxb，当2yb得4x，G点的坐标为(4,2)b，1'4yx，4'|1xy，过点G的切线方程为(2)4ybx即2yxb，令0y得2xb，1F点的坐标为(2,0)b，由椭圆方程得1F点的坐标为(,0)b，2bb即1b，即椭圆和抛物线的方程分别为2212xy和28(1)xy；（2）过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,以PAB为直角的RtABP只有一个，同理以PBA为直角的RtABP只有一个若以APB为直角，设P点坐标为21(,1)8xx，4A、B两点的坐标分别为(2,0)和(2,0)，222421152(1)108644PAPBxxxx。关于2x的二次方程有一大于零的解，x有两解，即以APB为直角的RtABP有两个，因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形。点评：本题考查椭圆和抛物线方程的求法、抛物线的切线方程的求法、存在性问题的解决方法、分析问题解决问题的能力，是一道几乎网罗了平面解析几何的所有知识点并且和导数的应用交汇在一起的综合性试题，是一道“在知识网络的交汇处”设计的典型试题。易错指导：本题把抛物线和椭圆结合在一起，题目的条件里还有两条直线，考生在心理上畏惧，可能出现的问题是思维混乱，理不清题目中错综复杂的关系，找不到正确的解题思路；在解决第二问时缺乏分类讨论的思想意识产生漏解等3．已知平面上一定点C(4,0)和一定直线l：x＝1，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(PC→＋2PQ→)·(PC→－2PQ→)＝0.(1)问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；(2)设直线y＝kx＋1与(1)中的曲线交于不同的两点A，B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D(0，－2)？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．解(1)设点P的坐标为(x，y)，由(PC→＋2PQ→)·(PC→－2PQ→)＝0，得|PC→|2－4|PQ→|2＝0，∴(x－4)2＋y2－4(x－1)2＝0.化简，得x24－y212＝1.∴P点在双曲线上，其方程为x24－y212＝1.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由y＝kx＋1，x24－y212＝1，得(3－k2)x2－2kx－13＝0，∴x1＋x2＝2k3－k2，x1x2＝－133－k2.∵AB与双曲线交于两点，∴Δ0且3－k2≠0，即4k2－4(3－k2)(－13)0且3－k2≠0.解得－132k132且k≠±3.∵若以AB为直径的圆过点D(0，－2)，则AD⊥BD，∴kAD·kBD＝－1，即y1＋2x1·y2＋2x2＝－1.5∴(y1＋2)(y2＋2)＋x1x2＝0⇒(kx1＋3)(kx2＋3)＋x1x2＝0.∴(k2＋1)x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝0⇒(k2＋1)(－133－k2)＋3k·2k3－k2＋9＝0.解得k2＝78，k＝±144∈(－132，132)，且k≠±3.故存在k值，所求k值为±144.4.如图，已知椭圆的中心为原点O，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0，－2m2)．(1)求椭圆的方程．(2)求证：直线l与椭圆有两个交点．(3)设l交椭圆有两个交点为A、B，直线MA、MB与x轴围成的三角形是等腰三角形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．(1)解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则a＝2b，4a2＋1b2＝1，解得a2＝8，b2＝2.所以椭圆方程为x28＋y22＝1.(2)证明因为直线l平行于OM，又kOM＝12，所以l的方程为y＝12x＋m，由y＝12x＋m，x28＋y22＝1⇒x2＋2mx＋2m2－4＝0，所以Δ＝(2m)2－4(2m2－4)＝－4(m2－4)，因为－2m2，m≠0，所以Δ0，即直线l与椭圆有两个不同交点．(3)解围成的三角形是等腰三角形，证明如下；设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只要证明k1＋k2＝0即可．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1＝y1－1x1－2，k2＝y2－1x2－2，由x2＋2mx＋2m2－4＝0，可得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.而k1＋k2＝y1－1x1－2＋y2－1x2－26＝y1－1x2－2＋y2－1x1－2x1－2x2－2＝12x1＋m－1x2－2＋12x2＋m－1x1－2x1－2x2－2＝x1x2＋m－2x1＋x2－4m－1x1－2x2－2＝2m2－4＋m－2－2m－4m－1x1－2x2－2＝0，所以k1＋k2＝0.故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.5.设1F、2F分别是椭圆22154xy+=的左、右焦点.（1）若P是该椭圆上的一个动点，求21PFPF的最大值和最小值；（2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：（1）易知)0,1(),0,1(,1,2,521FFcba设P（x，y），则1),1(),1(2221yxyxyxPFPF3511544222xxx]5,5[x，0x当，即点P为椭圆短轴端点时，21PFPF有最小值3；当5x，即点P为椭圆长轴端点时，21PFPF有最大值4（2）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k直线l的方程为)5(xky由方程组2222221(54)5012520054(5)xykxkxkykx，得依题意25520(1680)055kk，得当5555k时，设交点C),(),(2211yxDyx、，CD的中点为R),(00yx，则45252,4550222102221kkxxxkkxx.4520)54525()5(22200kkkkkxky又|F2C|=|F2D|122RFkklRF712042045251)4520(0222222kkkkkkkkkRF∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立，所以不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|