第二章平面汇交力系与平面力偶系陈位宫主编《工程力

第二章平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系，是研究复杂力系的基础。本章将分别用几何法与解析法研究平面汇交力系的合成与平衡和平面力偶系的合成与平衡问题。平面任意力系（平面一般力系）平面特殊力系平面汇交力系平面力偶系平面平行力系空间任意力系空间特殊力系空间汇交力系空间力偶系空间平行力系平面力系空间力系力系⑴研究问题：a.力系的简化b.力系的平衡条件⑵研究目的：平衡条件平衡方程实际问题⑶研究方法简单复杂特殊一般平面空间第二章平面汇交力系与平面力偶系§2–1平面汇交力系合成与平衡的几何法§2–2平面汇交力系合成与平衡的解析法§2–3平面力对点之矩的概念及计算§2–4平面力偶§2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法2.1.1概念平面汇交力系：各力的作用线位于同一平面内且全部汇交于一点的力系。2.1.2工程实例冲压机液压夹紧机构柱式压力机2.1.3平面汇交力系合成的几何法⑴基础：力的平行四边形法则a.两个汇交力的合成：结论：一个合力合力作用于汇交点大小为力多边形的封闭边⑵方法O力多边形法则：汇交力系中各力首尾相连，构成一个不封闭的折线Oabcd，称为不封闭的力多边形（力链）。合力为力多边形的封闭边Od，方向从第一个力的起点指向最后一个力的终点。力的可传性合力大小与分力的次序无关。1F2F3F4FO1F2F3F4FOacdbRF1F3F4F2F1RF2RFORF1F3F4F2FORFb.多个汇交力的合成：RF1F3F4F2FO合力可以表示为：41iiRFF若力系为n个力，合力可以表示为：n1iiRFFiF总之，平面汇交力系可简化为一个合力：其大小和方向等于各分力的矢量和（n个之和），其作用线通过汇交点。力FR对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。所以称此力为汇交力系的合力。汇交力系nFFF.....,21与其合力等效。⑶结论：合力大小、方向由各分力矢构成的力多边形的封闭边表示。作用线通过汇交点。①选恰当的力与长度比例尺注意：②合力与分力合成次序无关③合力为第一个力的起点指向最后一个力的终点平面汇交力系简化合成的结果：一个合力RF找出平面汇交力系合成的合力F1F2F3F4F5F2F1F3F4平面汇交力系平衡的充要条件是合力为零。n1iiR0FF力系中各力首尾相连，力多边形自行封闭。O1F2F3F4FORF5F,,FFR二力平衡等值反向与55,4321FF,F,F,F为平衡力系。则平衡条件的几何形式：5FRF1F3F4F2FO5F2.1.4平面汇交力系平衡的几何条件（4）确定未知力的大小：可量取长度，用比例尺换算。也可利用三角关系求得。b30°60°例2-1如图，P=10kN。两杆自重不计。求两杆的受力。ABCP30°60°OaP（3）画力多边形：sin305ABFPkN确定未知力方向：力多边形中各力的方向为实际方向，与受力图一致。（5）答案：由作用反作用公理，AB受拉力5kN；BC受压力8.66kN。（1）研究对象：销钉B（2）画受力图；FBAFBC5kN销钉BBFBCFABPCBF’BCFCBBAF’ABFBAkNPFBC66.830cos选取比例尺；解：应用：横梁在力的作用下处于平衡，已知中点P=50KN，求A、B约束反力45°解：25KN10mm比例尺45°ABPP45°FB45°FAPFAFBKNPFFBA35.3545sin如图轧路碾子自重P=20kN，半径R=0.6m，障碍物高h=0.08m碾子中心O处作用一水平拉力F，试求:(1)当水平拉力F=5kN时，碾子对地面和障碍物的压力；(2)欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；(3)力F沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F为多大。例2-2ROAhFBqABOPFFAFB(b)FPqFAFB(c)1.选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。30866.0cosqqRhR各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条件，力P，F，FA和FB组成封闭的力多边形。由已知条件可求得再由力多边形图c中各矢量的几何关系可得PFFFFBABqqcossinkN,10sinqFFBkN34.11cosqBAFPF解得解：ROAhFB(a)qP例2-22.碾子能越过障碍的力学条件是FA=0，得封闭力三角形abc。aFFminPqFBbckN5.11tanqPFkN09.23cosqPFB3.拉动碾子的最小力为kN10sinminqPF由此可得ABOPFFAFBFPqFAFB例2-2小结：几何法解题步骤：①选研究对象；②作出受力图；③作力多边形，选择适当的比例尺；④用几何法求出未知数。几何法解题不足：①一般只适合三个力时的平衡；做出的封闭多边形为三角形，可用三角形的正弦和余弦定理求解；②作图要求精度高;③精度不够，误差大；④不能表达各个量之间的函数关系。2.2.1力的投影AByOxabOyxABFabFxb1a1Fy线段ab称为力F在x轴上的投影，用Fx表示线段a1b1称为力F在Y轴上的投影，用Fy表示投影的目的：矢量标量FyFx§2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法⑴投影的计算a.大小：Fx=FcosαFy=Fsinαb.正负：力的起点垂足至终点垂足的指向与投影轴正向一致投影为正，反之为负。如图，若F=40KN，α=30°，求力在x、y轴上的投影Fx=40cos30°KNFy=40sin30°KNFx=40cos30°KNFy=-40sin30°KNβFx=FsinβFy=FcosβOyxFOyxABFFxFyabFxb1a1Fy⑵力的投影与分解的区别a.力的投影是标量，作垂线b.力的分解是矢量，作平行线力的投影力的分解OyxABFFxFyabFxb1a1FyF如果将力沿正交的x、y坐标轴方向分解，则所得分力、的大小与力在相应轴上的投影Fx、Fy的绝对值相等。但是当Ox、Oy两轴不正交时，则没有这个关系。xFyFF注意：力的投影是代数量，而力的分量是矢量；投影无所谓作用点，而分力作用在原力的作用点。45°xy20KN45°xy20KN求力的投影：Fx=20cos45°KNFy=0Fx=40cos45°KNFy=20KN例：求力在x、y方向分力力的大小：力的方向：F=√F2x+F2ytgα=FxFyyxoFαFxFy反之，若已知力在两正交坐标轴上的投影为Fx、Fy,则力的大小和方向为：FF⑶已知投影，求力⑷坐标系的建法a.一般采用直角坐标系b.应使力系中大多数的力与坐标轴平行或垂直yxoF2.2.2解析合成xyoabcdF1x=abF2x=bcF3x=-cdFx=adad=ab+bc-cdFx=F1x+F2x+F3x同理Fy=F1y+F2y+F3yn个力构成的平面汇交力系：Fy=F1y+F2y…+Fny=∑FiyFx=F1x+F2x…+Fnx=∑FixF1oF1F2F3F2F3F⑴合力投影定理平面汇交力系的合力在某坐标轴上的投影，等于诸分力在同一轴上投影的代数和。⑵解析合成已知分力建立坐标系求分力的投影合力投影注意：a.运算过程为标量计算b.投影的正负c.坐标系的建立2222RRxRyixiyFFFFF合力大小：方向余弦：cos,cos,ixRxRRRRyiyRRRFFFiFFFFFjFF解：1234cos30cos60cos45cos45129.3RxixFFFFFFN1234sin30sin60sin45sin45112.3RyiyFFFFFFNN3.17122RyRxRFFF7548.0cosRRxFFθ6556.0cosRRyFFβ01.49,99.40βθ例2-3已知：图示平面共点力系；求：此力系的合力。60°30°70°F1F2F3F4例2-4：作用于吊环螺钉的四个力构成平面汇交力系。已知各力大小为：F1＝360N，F2＝550N，F3＝380N，F4＝300N。试用解析法求合力的大小和方向。解：建立坐标系OxyRx1x2xnxFFFFRy1y2ynyFFFF＝F1cos60°＋F2＋F3cos30°＋F4cos70°＝1162N＝F1sin60°—F3sin30°—F4sin70°＝－160N22RRxRyFFF＝1173N＝0.1377合力方向：FRRyRxFtanF754合力大小：xyO由于FRx0，FRy0，所以合力指向第四象限，指向如图。2.2.3平衡解析条件即：力系中各力在任选的直角坐标系每一轴上投影的代数和均等于零。平衡方程平面汇交力系平衡条件：合力等于零10nRiiFF2222RRxRyixiyFFFFF合力大小：平衡解析条件：00xyFF有2个平衡方程，只能求解2个未知量。利用平衡方程，求解平衡问题的步骤为：1、选——选取研究对象。应既受已知力，又受要求的力或与要求力相关的力。2、画——画受力图。(标清几何关系)3、建——建立坐标系。原点可任意，使坐标轴与较多的力平行（或垂直）。4、列——列平衡方程。注意：不要列成左式等于右式的形式。5、解——解平衡方程。6、答——答案，必要时作出讨论或说明。2.2.4平衡方程应用解：（3）建立坐标系：Axy0xF0yF（4）列平衡方程：（5）解得：FA=－22.4kN例2-5：刚架如图所示，受水平力作用，P=20kN，不计刚架自重，求A、D处的约束反力。4mBPACD8mxyPFD1255sincos（1）研究对象：刚架（2）受力如图：FAcos+P=0FAsin＋FD=0FA为负，表明其方向与图示相反。FD=10kNFD为正，表明其方向与图示相同。8m4mABCDFAαyxFBC＇FCBCBFAB＇BAFBAB30FBCFABF1F2（3）建立坐标系：BxyCABD3060P例2-6已知如图，不计钢丝绳、杆和滑轮重力及滑轮大小。求二杆的受力。0xF0yF（4）列平衡方程：解：分析题意滑轮大小不计，可为点B。（1）研究对象：滑轮和销轴。（2）受力如图：－F1cos30＋FBC－F2sin30=0FBA=－0.366PFBC为正，表明其方向与图相同，FBC＇与图相同，BC受压。FBC=1.366PFBA为负，表明其方向与图相反，FBA＇与图相反，AB受压。（5）解得：BF230FBCFAB30F1F1=F2=P-F1sin30+F2cos30°+FBA=01、一般对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。解题技巧及说明：3、投影轴常选择与未知力或不必求的力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。2、对于受多个力作用的物体，无论角度特殊与否，都用解析法。5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。总结：平面汇交力系简化一个合力几何法：力多边形封闭边平衡合力为零几何法：力多边形自行封闭解析法：22RxyFFF解析法：平衡方程00xyFF§2.3平面力对点之矩的概念及计算2.3.1力对点之矩力刚体运动效应移动效应转动效应力的三要素?oFO为转动中心移动移动转动结论：oF①力对物体的移动效应是绝对的②力对物体的转动效应是有条件的O点到力的作用线的垂直距离称为力臂hhh=0无转动；h≠0有转动⑴平面力矩的概念平面力F的大小与力臂的乘积称为力F对O点之矩用表示，O点称为矩心。()OMF平面力矩为标量：()OMFhF⑵力矩的三要素a.大小：Fh或2S△OAB单位：N·m或kN·mb.作用平面：OAB平面内c.转向：规定逆正顺负力矩的性质ohFAB①平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且与矩心位置有关。②力