超几何分布超几何分布

§2超几何分布第二章概率学习导航第二章概率学习目标1.理解超几何分布及其推导过程．(难点)2．能运用超几何分布解决一些实际问题．(重点)学法指导1.超几何分布是一个应用广泛的概率模型,超几何分布列给出了求解这类问题的方法,即可以通过公式直接求解，简单且不易出错，但不能机械地去记忆公式，要在理解的前提下记忆，注意理解超几何分布公式中各字母的含义．第二章概率学法指导2．许多不放回抽样的实际问题，可以通过化归为超几何分布，并运用它简捷求解．凡类似于“在含有次品的产品中取部分产品,问所取出的产品中次品件数”的问题，都属于超几何分布的模型.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝____________．(其中k为非负整数)如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的_______________．超几何分布CkMCn－kN－MCnN栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率1．一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则含有3个黑球的概率为()A.20273B.10273C.2091D.1091解析：由条件知，随机变量X服从N＝15，M＝5，n＝4的超几何分布，所以P(X＝3)＝C35C110C415＝20273.A栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率2．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于C47C68C1015的是()A．P(X＝2)B．P(X≤2)C．P(X＝4)D．P(X≤4)解析：此为一个超几何分布问题.15个村庄中有7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，C47C68表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便，6个交通方便的村庄，故P(X＝4)＝C47C68C1015.C栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率3．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有一箱不合格产品，便接收该批产品，则该批产品被接收的概率是________．解析：设5箱产品中不合格的箱数为Z，由题意得，该批产品被接收的概率为：P(Z≤1)＝P(Z＝0)＋P(Z＝1)＝C02C548C550＋C12C448C550＝243245，即该批产品被接收的概率是243245.243245栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率超几何分布列某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生,4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数．求X的分布列．(链接教材P39例1)栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率[解]依题意随机变量X服从超几何分布，所以P(X＝k)＝Ck6C4－k4C410(k＝0，1，2，3，4)．∴P(X＝0)＝C06C44C410＝1210，P(X＝1)＝C16C34C410＝435，P(X＝2)＝C26C24C410＝37，P(X＝3)＝C36C14C410＝821，P(X＝4)＝C46C04C410＝114，栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率∴X的分布列为X01234P121043537821114栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率方法归纳解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否满足超几何分布,如果满足超几何分布的条件,则直接利用超几何分布概率公式来解．当然,本例也可通过古典概型解决,但利用超几何分布概率公式简化了对题目的具体分析，因此要简单一些．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率利用超几何分布模型求相应事件的概率在一个口袋中有30个球,其中红球10个,其余为白球，这些球除颜色不同外完全相同．游戏者一次从中摸出5个球，摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率有多大？(链接教材P40例2)栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率[解]法一：设“中一等奖”为事件A，则P(A)＝C410C120C530≈0.029.即获一等奖的概率约为0.029.法二：设X为摸到红球的个数，则X服从参数为N＝30，M＝10，n＝5的超几何分布．由题意知，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，则X的分布列为P(X＝k)＝Ck10C5－k20C530(k＝0，1，2，3，4，5)．∴P(X＝4)＝C410C120C530≈0.029.即获一等奖的概率约为0.029.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率方法归纳学习超几何分布，要与古典概型和排列组合知识结合起来．在古典概型中，基本事件总数为n，事件A包含的基本事件个数为m，则P(A)＝mn，它与超几何分布列中的P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN是一致的．在一些复杂的问题中求概率时，就会体现出直接用公式的方便了．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率1.袋中有7个球，其中3个黑球、4个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X的分布列，并求至少有一个红球的概率．解：X＝0，1，2，3，X＝0表示取出的三个球全是黑球，P(X＝0)＝C33C37＝135.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率同理P(X＝1)＝C14C23C37＝1235，P(X＝2)＝C24C13C37＝1835，P(X＝3)＝C34C37＝435.∴X的分布列为：X0123P13512351835435至少有一个红球的概率为P(X≥1)＝1－135＝3435.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率超几何分布的综合问题(链接教材P42习题2－2T2)现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为17.(1)求7名学生中甲班的学生数；(2)设所选2名学生中甲班的学生数为X，求X的分布列，并求甲班学生数不少于1人的概率．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率[解](1)设甲班的学生数为n，由题意得，17＝C2nC27＝n（n－1）27×62＝n（n－1）7×6，整理得n2－n－6＝0，解得n＝3或n＝－2(舍去)．即7个学生中，有甲班3人．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率(2)由题意知X服从参数N＝7，M＝3，n＝2的超几何分布，其中X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝k)＝Ck3C2－k4C27(k＝0，1，2)．∴P(X＝0)＝C03C24C27＝621＝27，P(X＝1)＝C13C14C27＝1221＝47，P(X＝2)＝C23C04C27＝321＝17.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率∴X的分布列为X012P274717由分布列知P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝47＋17＝57.即所选两人中甲班学生数不少于1人的概率为57.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率方法归纳解决本题时应注意以下几点：(1)通过古典概型概率公式列出方程求出甲班学生数是整个题目的关键点，体现了方程思想与概率知识的结合；(2)分析题意，得出X服从超几何分布是第二问的切入点，比利用古典概型求解要简单一些；(3)概率知识与其他知识的结合在各地模拟题及高考题中已有出现，这将成为一个热点．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率2.某商场为减少库存，加快资金周转，特举行一次购物抽奖活动，此次活动共设奖券100张，其中一等奖奖券5张，可获得价值100元的购物券；二等奖奖券10张，可获价值50元的购物券；三等奖奖券15张，可获价值10元的奖品；其余奖券无奖，某顾客从此100张奖券中任取2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得奖券总价值X元的分布列，并求P(5≤X≤120)的值．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率解：(1)从100张奖券中任取2张共有C2100种结果，令A＝“该顾客中奖”，则A－＝“该顾客没有中奖”．∴P(A)＝1－P(A)＝1－C270C2100＝1－161330＝169330.即顾客中奖的概率为169330.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率(2)由题意可知X的取值可能有0，10，20，50，60，100，110，150，200.P(X＝0)＝C270C2100＝161330，P(X＝10)＝C170C115C2100＝733，P(X＝20)＝C215C2100＝7330，P(X＝50)＝C170C110C2100＝1499，P(X＝60)＝C110C115C2100＝133，栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率P(X＝100)＝C15C170＋C210C2100＝79990，P(X＝110)＝C15C115C2100＝15990＝166，P(X＝150)＝C15C110C2100＝199，P(X＝200)＝C25C2100＝2990＝1495，栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率∴X的分布列为X＝k010205060100110150200P(X＝k)16133073373301499133799901661991495栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率∴P(5≤X≤120)＝P(X＝10)＋P(X＝20)＋P(X＝50)＋P(X＝60)＋P(X＝100)＋P(X＝110)＝733＋7330＋1499＋133＋79990＋166＝12.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率规范解答超几何分布的应用(本题满分12分)(2014·西安高二检测)袋中有4个红球、3个黑球，从袋中随机取球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率[解](1)从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况.1分分别得分为5分，6分，7分，8分．故X的可能取值为5，6，7，8，3分P(X＝5)＝C14C33C47＝435，4分P(X＝6)＝C24C23C47＝1835，5分栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率P(X＝7)＝C34C13C47＝1235，6分P(X＝8)＝C44C03C47＝135.7分故所求分布列为X5678P435183512351358分栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率(2)根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P(X＞6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝1235＋135＝1335.12分栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率[规范与警示]1.在处，将随机变量X的值取准确是解答此题的关键．若在处值取对，但将处基本事件总数或将CkMCn－kN－M计算错误，则导致失分，是易失分点．在处也易漏掉两种情况的一种，是又一个易失分点．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章概率2．防范措施：(1)随机变量取值要点．将随机变量X的值取全、取准是解决此类题的关键，如本