计算力学考试1

1.推导一维非定常Euler方程的Jacobi矩阵,并判断该方程的类型Euler方程：0xFtu其中mEuU，upEpuuF2RTpRCuTCEvv,1,21221212,22222mpmRpRuTCEmuV代人F得：=xUA原方程化为由0EA得：λ1=u，λ2=u+a，λ3=u-a有3个不相等的根，所以一维非定常Euler方程是双曲线方程2.偏微分方程类型，判断方法有哪些？一阶拟线性方程组3.采用泰勒级数展开法推导二阶导数的四阶中心格式1+2前面的两个2不要4.采用多项式方法推导一阶导数的三阶单侧差分格式2323233231324121531248641392775462443859718989bycydybycydybycydybydyuuubydyuuu得得得得得623142314,1,2,,3,8992189112189112189112ijijijijijbyuuuuuuuubyuuuuuyy得66即65.一阶波动方程的稳定性分析(1)（时间前向，空间中心差分）0xuctu11102==nnnniiiiuuuuctxD差分方程的精确解，舍入误差（1）—（2）得误差方程：令mx10211cossincossin221sinmmmmikxikxatikxikxatmmmmmeeectxctcteeekxikxkxikxxxctikxx12221sin1sin11,sin0,0natimnimmcteikxxctctctkxGkxxxx因为c0时，ctx0,所以无条件不稳定(2)一阶波动方程的稳定性条件（时间前向，空间前向）0xuctu110==nnnniiiiuuuuctxD差分方程的精确解，舍入误差111101nnnnnnnniiiiiiiiDDDDctx令mx10110111cossin1mmmmmmmmattikxnatiikxnatiattikxxikxikxikxatatatikxatikxatmmeeeeeeeeeeeeectxeectxctcteekxikxxx化简得0cos11xkxtcxtcm当c大于0时，无条件不稳定，当c小于0，-1ctx0时稳定6.简述加权残值法的基本类型并用伽辽金加权残值法给出求解过程及最后结果.基本类型：最小二乘法，配点法，子域法，伽辽金法，矩量法题目：022xudxud10x0u，0x或1x五种方法求解（一阶）设待求函数u的试函数：1)1(CxxU则内部残值xCxxCxUdxUdRV12122)(2一：最小二乘法内部权函数212xxCRWvvdxxxxCxxCdxWRvv)2(])(2[21012110=01211301011C202551C所以得)1(20255xxu二：配点法W1=ixx取x1=21得：dxWRvv10)21(R=11412CC+21=0721C得)1(72xxu三：子域法11W在子域内021611])(2[11012110CdxxCxxCdxRv1131C得)1(113xxu四：伽辽金法)1(1xxWdxWRvv101851C)1(185xxu五：矩量法11W021611])(2[11012110CdxxCxxCdxRv1131C)1(113xxu7.有限元方法解题步骤（1）写出积分表达式根据变分原理或者方程余量与权函数正交化原理，建立起与微分方程初边值问题等阶的积分表达式（2）区域剖分根据求解区域的形状以及实际问题的物理特点，将区域剖分成若干大小不一、几何形状规则的单元，并确定单元中的结点数目与位置；然后对单元、结点按一定要求进行编号（3）确定单元基函数根据单元中结点数目及对近似解可微性要求，选择满足一定插值条件的插值函数为单元基函数（4）单元分析单元分析的目的是建立单元有限元方程。将单元中的近似解表示为单元基函数的线性组合，再将它代入积分表达式，并对单元区域进行积分，就可获得含有待定系数的代数方程组。这个方程组一般称为单元有限元方程。（5）总体合成将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。（6）边界条件处理边界条件处理主要是如何使本质边界条件上结点的函数值满足指定的本质边界条件。（7）解总体有限元方程，计算有关物理量8.总体刚度矩阵组装方法将单元有限元方程中的系数矩阵和右端项各个系数，按照单元结点序号和总体结点序号对应关系，累加到相应的总体有限元方程系数矩阵和右端项的元素中去假定e单元中的结点i,j对应的总体结点序号是n,m，则进行下面所表示的累加总体接分表达式是各个单元积分表达式之和。单元基本表达式就是单元有限元方程，因此将求解区域中所有单元有限元方程相加即合成总体有限元方程将单元有限元方程的系数矩阵Aij和右端项fi分别累加，合成为总体有限元方程的系数矩阵Anm和右端项fn，从而产生总体有限元方程代入值