计算方法实验

1计算方法实验指导姓名______________学号______________院系______________专业______________哈尔滨工业大学2计算方法实验指导根据实际问题建立的数学模型，一般不能求出所谓的解析解，必须针对数学模型的特点确定适当的计算方法，编制出计算机能够执行的计算程序，输入计算机，进行调试，完成运算，如果计算结果存在问题或不知是否正确，还需要重新确定新的计算方法，再编制出计算程序，输入计算机，重新调试，完成运算，直至获得正确的计算结果，这就是数值计算的全部过程。学生在学习“计算方法”和“高级语言”等课程时普遍存在的问题是：只会套用教科书中的标准程序进行数值计算，很少有人能够独立地将学过的数值算法编制成计算机程序，至于灵活应用已经掌握的算法求解综合性较大的课题，则更是困难的事情。编写《计算方法实验指导》的目的是：突出数值计算程序结构化的思想。提高学生的编程能力，加深对“计算方法”课程内容的理解和掌握，为”计算方法“课程的教学服务，进一步奠定从事数值计算工作的基础。具体地1.根据“计算方法”课程内容的特点，给出五个典型算法的分析流程，学生可以利用所掌握的“高级语言”顺利地编制出计算机程序，上机实习，完成实验环节的教学要求。2.所有的计算实习题目都经过任课教师逐一检验，准确无误。3.充分利用循环的思想、迭代的思想，给出算法结构描述和程序语言的对应关系，有利于学生编制相应的程序。4.结合实习题目，提出实验要求，要求学生按规范格式写出相应的实验报告，实验报告成绩记入期末总成绩。需要提醒学生：不能简单地套用现成的标准程序完成实验题目，应当把重点放在对算法的理解、程序的优化设计、上机调试和计算结果分析上，否则就失去实验课的目的啦。5.五个具体的实验题目是：实验题目1拉格朗日(Lagrange)插值实验题目2龙贝格(Romberg)积分法实验题目3四阶龙格—库塔(Runge—Kutta)方法实验题目4牛顿(Newton)迭代法实验题目5高斯(Gauss)列主元消去法要求必须完成其中三个（如果全部完成更好）。3实验题目1拉格朗日(Lagrange)插值方法概要：给定平面上1n个不同的数据点(,())kkxfx，0,1,,kn，ijxx，ij；则满足条件()()nkkPxfx，0,1,,kn的n次拉格朗日插值多项式0()()()nnkkkPxfxlx是存在唯一的。若[,],0,1,,kxabkn，且函数()fx充分光滑，则当[,]xab时，有误差估计式(1)01()()()()()()(1)!nnnffxPxxxxxxxn，[,]ab拉格朗日插值算法实验实验目的：利用拉格朗日插值多项式()nPx求()fx的近似值输入：1n个数据点(,())kkxfx，0,1,,kn；插值点x输出：()fx在插值点x的近似值()nPx程序流程：1置0.0y；0k2当kn时，做2.1—2.42.1置1.0l；2.2对0,1,,1,1,,jkkn，置()/()jkjllxxxx2.3置()kyylfx2.4置1kk3输出,xy4停机问题1拉格朗日插值多项式的次数n越大越好吗？4考虑下面两个拉格朗日插值问题：（1）设21()1fxx，[5,5]x，考虑等距节点的拉格朗日插值多项式()nPx，即将区间[5,5]进行n等分，记10.0hn，5.0kxkh，0,1,,kn，构造()nPx，利用拉格朗日插值多项式()nPx作为()fx的近似值。分别取5n，10n，20n，同时计算()nPx在0.75x，1.75x，2.75x，3.75x，4.75x处的函数值。（2）设()xfxe，[1,1]x，考虑等距节点的拉格朗日插值多项式()nPx，即将区间[1,1]进行n等分，记2.0hn，1.0kxkh，0,1,,kn，构造()nPx，利用拉格朗日插值多项式()nPx作为()fx的近似值。分别取5n，10n，20n，同时计算()nPx在0.95x，0.05x，0.05x，0.95x处的函数值。问题2插值区间越小越好吗？考虑下面两个拉格朗日插值问题：（1）设21()1fxx，[1,1]x，考虑等距节点的拉格朗日插值多项式()nPx，即将区间[1,1]进行n等分，记2.0hn，1.0kxkh，0,1,,kn，构造()nPx，利用拉格朗日插值多项式()nPx作为()fx的近似值。分别取5n，10n，20n，同时计算()nPx在0.95x，0.05x，0.05x，0.95x处的函数值。（2）设()xfxe，[5,5]x，考虑等距节点的拉格朗日插值多项式()nPx，即将区间[5,5]进行n等分，记2.0hn，1.0kxkh，0,1,,kn，构造()nPx，利用拉格朗日插值多项式()nPx作为()fx的近似值。分别取5n，10n，20n，同时计算()nPx在4.75x，0.25x，0.25x，4.75x处的函数值。5问题3在区间[1,1]考虑拉格朗日插值问题，为了使得插值误差较小，应如何选取插值节点？考虑下面两个拉格朗日插值问题：（1）设21()1fxx，[1,1]x，考虑非等距节点的拉格朗日插值多项式()nPx，记(21)cos2(1)kkxn，0,1,,kn，构造()nPx，利用拉格朗日插值多项式()nPx作为()fx的近似值。分别取5n，10n，20n，同时计算()nPx在0.95x，0.05x，0.05x，0.95x处的函数值。（2）设()xfxe，[1,1]x，考虑非等距节点的拉格朗日插值多项式()nPx，记(21)cos2(1)kkxn，0,1,,kn，构造()nPx，利用拉格朗日插值多项式()nPx作为()fx的近似值。分别取5n，10n，20n，同时计算()nPx在0.95x，0.05x，0.05x，0.95x处的函数值。问题4考虑拉格朗日插值问题，内插比外推更可靠吗？考虑下面两个拉格朗日插值问题：（1）设()fxx，关于以01x，14x，29x为节点的拉格朗日插值多项式2()Px，利用拉格朗日插值多项式2()Px作为()fx的近似值。同时计算2()Px在5x，50x，115x，185x处的函数值。（2）设()fxx，关于以036x，149x，264x为节点的拉格朗日插值多项式2()Px，利用拉格朗日插值多项式2()Px作为()fx的近似值。同时计算2()Px在5x，50x，115x，185x处的函数值。（3）设()fxx，关于以0100x，1121x，2144x为节点的拉格朗日插值多项式2()Px，利用拉格朗日插值多项式2()Px作为()fx的近似值。同时计算2()Px6在5x，50x，115x，185x处的函数值。（4）设()fxx，关于以0169x，1196x，2225x为节点的拉格朗日插值多项式2()Px，利用拉格朗日插值多项式2()Px作为()fx的近似值。同时计算2()Px在5x，50x，115x，185x处的函数值。思考题：1.对实验1存在的问题，应如何解决？2.对实验2存在的问题的回答，试加以说明3.对实验3存在的问题的回答，试加以说明4.如何理解插值问题中的内插和外推？写出实验报告7实验题目2龙贝格(Romberg)积分法方法概要：利用复化梯形求积公式、复化辛普生求积公式、复化柯特斯求积公式的误差估计式计算积分()bafxdx。记bahn，kxakh，0,1,,kn，其计算公式：111[()()]2nnkkkThfxfx21111()222nnnkkTThfxh21(4)3nnnSTT21(16)15nnnCSS21(64)63nnnRCC一般地，利用龙贝格算法计算积分，要输出所谓的T数表1214218421TTSTSCTSCR龙贝格(Romberg)积分法实验实验目的：利用龙贝格(Romberg)积分法计算积分()bafxdx输入：,,,abN输出：龙贝格T数表程序流程：1置bahn，1m11[()()]2Thfafb2输出1T3对2,3,,iN，做3.1—3,583.1置12iii置211111(())222iikTThfakh输出2T3.2置2211(4)3STT输出2S3.3对1m，置2211(16)15CSS输出2C，转3.63.4对2m，置2211(64)63RCC输出2R，转3.63.5对3m，置21tolRR如果tol，则停机，否则转3.63.6置12RR，12CC，12SS，12TT，2hh，1mm4停机问题1：利用龙贝格(Romberg)积分法计算积分（1）120exxdx，610（2）31esinxxdx，610（3）12041dxx，610（4）1011dxx，610问题2：被积函数无界，如何处理？（1）10sinxdxx，6109提示：0sin(0)lim1xxfx（2）10cos1xdxx，610提示：引进变换1tx（3）10cosxdxx，610提示：利用等式111000cos1cos1xxdxdxdxxxx，第一个积分值等于2，第二个积分，利用0cos1(0)lim0xxfx；也可以考虑利用分部积分1100cos2cos()xdxxdxx（4）121sin1xxdxx，610提示：利用第一类Gauss-Chebyshev求积公式问题3：积分区间无限，如何处理？（1）2e,xdx，610提示：利用21010exdx作近似（2）11(1)dxxx，610提示：利用变换1tx（3）23ecosxxdx，610提示：Gauss-Hermite求积公式（4）20esinxxdx，610提示：Gauss-Lagurre求积公式10思考题：1.输入的参数N有什么意义？2.在实验1中二分次数和精度的关系如何？3.在实验2中给出的提示具有普遍性吗？存在其它的方法吗？试加以说明。4.在实验3中给出的提示具有普遍性吗？存在其它的方法吗？试加以说明。写出实验报告11实验题目3四阶龙格—库塔(Runge—Kutta)方法方法概要：给定常微分方程初值问题d(,),d()yfxyaxbxbayahN记nxanh，0,1,,nN，利用四阶龙格—库塔方法112234311234(,)(,)22(,)22(,)1(22)6nnnnnnnnnnKhfxyKhKhfxyKhKhfxyKhfxhyKyyKKKK0,1,,1nN可逐次求出微分方程初值问题的数值解ny，1,2,,nN。四阶龙格—库塔(Runge—Kutta)方法实验实验目的：利用四阶龙格—库塔(Runge—Kutta)方法求解微分方程初值问题输入：,,,abN输出：初值问题的数值解,nnxy，0,1,2,,nN。程序流程：1置00,,baxayhN2对1,2,,nN，做2.1—2.42.1置100(,)Khfxy121200(,)22KhKhfxy2300(,)22KhKhfxy4003(,)KhfxhyK2.2置10xxh1012341(22)6yyKKKK2.3输出11,xy2.4置0101,xxyy3停机问题1（1）d,01,5,10,20d(0)1yxyxNxbayhN准确解1yx（2）2d,01,5,10,20d(0)1yyxNxba