计算方法第一章.

中国石油大学（华东）理学院参考书目(Reference)（1.研究和创造算法，2.使用算法）计算方法（第二版）同登科、周生田、张高民2009数值计算引论（第二版）白峰杉（高等教育出版社2010）NumericalAnalysis(SeventhEdition),RLBurden,JDFaires《MATLAB》任何一本较新点的参考书课程评分方法(GradingPolicies)作业成绩(20%)期末考试成绩(60%)程序实验成绩(20%)§1误差/*Error*/一、误差的来源与分类/*Source&Classification*/1、从实际问题中抽象出数学模型——模型误差/*ModelingError*/2、通过观测得到模型中某些参数（或物理量）的值——观测误差/*MeasurementError*/3、数学模型与数值算法之间的误差求近似解——方法误差(截断误差/*TruncationError*/)4、由于机器字长有限，原始数据和计算过程会产生新的误差——舍入误差/*RoundoffError*/二、误差分析的基本概念/*BasicConcepts*/设为真值（精确值），为的一个近似值称为近似值的绝对误差，简称误差。xxxxexx注：误差可正可负，常常是无限位的绝对误差限/*accuracy*/——绝对值的上界exx如：5314159110314159262.(.)绝对误差还不能完全表示近似值的好坏（绝对误差/*absoluteerror*/）11.Def近似值的误差与准确值的比值：xexexxxx称为近似值的相对误差，记作reexx注：实际计算时，相对误差通常取rexxexx12.Def（相对误差/*relativeerror*/）相对误差也可正可负rexxxx13.Def（有效数字/*SignificantDigits*/）相对误差限——相对误差的绝对值的上界r/*relativeaccuracy*/如：31415926.314.3141592.3位21102e6位51102e若近似值与准确值的误差绝对值不超过某一位的半个单位，该位到的第一位非零数字共有位，则xxnxn称有位有效数字注：0.2300可能有4位有效数字，而0.0023只有2位有效数字。12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。数字末尾的0不可随意省去！3.1415926535897932;3.1415例1：问：有几位有效数字？请证明你的结论。*10501050*and103141504131..π||π,.π*证明：有位有效数字，精确到小数点后第位。43有效数字与相对误差和绝对误差之间关系密切！例3计算下列多项式的值nnnaxaxaxp10)(为已知数据01,,,naaax分析：输入数据为，输出数据为，若直接由算出，再乘相应的系数并相加，则要做次乘法和次加法，占用个存储单元。0,,,naaxx)(xpnxx,,2021,,,aaann12()nnn12n秦九韶方法，也称为Horner算法nnaxaxaxaxp))(()(110只用次乘法和次加法，并占用个存储单元n2nn三、数值算法及稳定性/*NumericalAlgorithmandStability*/大家一起猜？dxe2x1011/e解法之一：将作Taylor展开后再积分2xe91!4171!3151!21311)!4!3!21(10864210dxxxxxdxe2xS4R4/*Remainder*/,104Sdxe2x取则111!5191!414R称为截断误差/*TruncationError*/005091!414.R这里7430024010333014211013114....S0010200050..|舍入误差/*RoundoffError*/|006000100050102...dxe-x的总体误差计算=0.747……由截去部分/*excludedterms*/引起由留下部分/*includedterms*/引起例4近似计算210xedx10333333.100238042.一个算法如果输入数据有扰动（即误差），而计算过程中舍入误差不增长,则称此算法是数值稳定的，否则此算法就称为不稳定的。14.Def（数值稳定性/*NumericalStability*/）此公式精确成立80001050.IIE记为*0I632120560111100.edxeeIx则初始误差111111110010nI)e(ndxexeIdxexennnn101091110121113121413151411036787944............110008812800111003059200112063289600113722764801149495942411514233914II.II.II.II.II.II.II.????!!!Whathappened?!例5计算101012,,,,......nxnIxedxne11101011[]nxnxnnIxenxedxnIe公式一：考察第n步的误差nE11|||||(1)(1)|nnnnnEIInInI||!01En||Enn我们有责任改变。造成这种情况的是不稳定的算法/*unstablealgorithm*/迅速积累，误差呈递增趋势。初始的小扰动801050||.E)1(1111nnnnInIInI公式二：注意此公式与公式一在理论上等价。方法：先估计一个IN,再反推要求的In(nN)。11)1(1NINeN1112(1)1NNIIeNN可取0*NNNIIEN,时当()()()()()()1514151314121311121011121110042746233216161100638169181511006687022014110071779214131100773517321211008387711511110367879442I.eII.II.II.II.II.II.()01110632120561II.取考察反推一步的误差：()()1111||11||NNNNEIIENNN以此类推，对nN有：||)1(...)1(1||NnEnNNE误差逐步递减,这样的算法称为稳定的算法/*stablealgorithm*/在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性将会是一个非常重要的话题。§2误差分析/*ErrorAnalysis*/一、误差分析的方法1212()()()xxxx121221()()()xxxxxx12211222()()()xxxxxxx两个近似数，四则运算得到的误差限分别为12,xx（1）（2）对于函数y=f(x)，若用x*取代x，将对y产生什么影响？分析：e*(y)=f(x*)f(x)e*(x)=x*xMeanValueTheorem()()fxxx*与x非常接近时，可认为，则有：()()ffx()()()eyfxex即：产生的误差经过作用后被放大/缩小了倍。故称为放大/缩小因子/*amplificationfactor*/或绝对条件数/*absoluteconditionnumber*/.xf()fx()fx()|()|()reyeyfx()|()|rexexx()()()()()()()rrfxfxxxxeyxxfxxxfxexfx相对误差条件数/*relativeconditionnumber*/f的条件数在某一点是小\大，则称f在该点是好条件的/*well-conditioned*/\坏条件的/*ill-conditioned*/。注：关于多元函数可类似讨论.)...,(21nx,x,xfy()()()fxexfx例7105%x设,试求函数的相对误差限.()nfxx解：由题设知:近似值为,绝对误差限为10x()5%x1111()()nnfxxxnnx()()()()0.005()()()reffxexexeffxfxnxn二、几点注意事项/*Remarks*/1、避免相近二数相减例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效数字。而a2a1=0.00001，只剩下1位有效数字。几种经验性避免方法：;xεxεxεx;1lnlnlnxεxεx当|x|1时：;2sin2cos12xx...6121112xxxex注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1+2+3+…+40+1094、先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。一般来说，计算机处理下列运算的速度为exp,,5、选用数值稳定的算法。2、避免小分母:分母小会造成浮点溢出/*overflow*/3、避免大数吃小数称为尾数，j为阶§3计算机的数系结构/*StructureofNumberSystem*/计算机的数系是一个不完整的数系。计算机只能表示有限个数，即计算机的精度是有限的。每种计算机内部运算是按固定的有限位数进行的，也就是按固定位数的有限位浮点数进行运算的。浮点数系统由四个整数表征：基，精度（尾数）位数，下溢界和上溢界tLU计算机所表示的数的集合(规格化浮点数系)：若，则，其中,.0fmfM1Lm1()UtM12100100.,,,jtiFfdddditdLjU例如：2312(,,,),,,FtLUtLU12310202130120.,,,jiFfddddidj四种排列：123100101110111ddd尾数只能为4个数：1232401001202028(.)1232501011202128(.)1232601101212028(.)1232701111212128(.)故F中有33个浮点数(加上0)：10121112425555168423333842777716842jjjj一般地，机器数有单精度和双精度之分。通常，单精度为32位，双精度为64位，它们是正负号、阶码和尾数所占二进制的总长度。阶码正负号1位阶码7位1位尾数23位尾数正负号32位阶码正负号1位阶码10位1位尾数52位尾数正负号64位t=23，约相当于十进制7位有效数字：绝对值范围，即t=52，约相当于十进制15位有效数字：绝对值范围，即12812822~393829103410.~.1024102422~3093085561017910.~.